直方图均衡化及规定化

        直方图均衡化的目的是对比度增强，对比度指图像灰阶渐进层次，渐变层次越多，色彩表现就越丰富，越清晰醒目，对比度增强就是增加渐变层次。

        直方图均衡化的实现方式：图像的对比度小，在其直方图上的体现是过于集中于较小的灰度级范围，如图：

 

如何使直方图覆盖更广的灰度级呢？只需要将灰度值映射到更广的灰度级范围就可以了，如使用幂次函数变换s = cr^q；对数变换；n次方根变换等，这样的函数变换进行灰度级扩散时函数图像都是向上抛的曲线，当进行灰度级压缩时是向下凹的。

 

        直方图均衡化的原理也类似，就是通过一个函数来扩宽灰度级范围，只不过该函数与直方图相关，这个函数叫做累积分布函数（CDF），它的特殊之处在于经过它映射的图像的直方图（也就是概率密度函数）是近似均匀的（为什么是近似？像素值是离散的，后面会有解释）。

       累积分布函数（CDF）的表达式如下：

其中P_r（w）是原图的像素值的概率密度函数（直方图）。

       由基本概率理论：如果P_r（r）和T（r）已知，且T^-1（s）满足r的值域内单调递增，那么变换变量S的概率密度函数P_s（s）可以由下列公式得到：

而：

故：

        由以上推导可知经过CDF函数映射后的图像的像素值的概率密度函数是均匀的，CDF函数只与图像本身有关且始终是均匀的，这是使用CDF来做图像增强的优点。

       由于像素值是离散的，不能像上面的推导过程来求CDF函数，而是使用概率及概率累积：

        这是为什么我们不能得到完美的均匀直方图，经过直方图均衡化处理后的效果：

       可以看出灰度级范围扩宽了，图像也明亮了许多。

       理解直方图均衡化后，直方图匹配（规定化）就容易理解了，就是直方图均衡化后，再根据给定的直方图函数进行逆变换。

       参考：

       1、维基百科 直方图均衡化

       2、冈萨雷斯 第三章