并查集

并查集是一种比较有用的数据结构，主要是用于解决将一些元素合并和查找元素在某个集合的操作，即union操作和findSet操作。
其中，利用有根树实现并查集的方法是普遍使用的方法，也是效率最优的方法。
在并查集一开始时，每个元素做为一个单独的集合，即每个都是只含有一个根的子树。
在合并的时候，主要是采用按秩合并。在开始时，每个元素的秩为0，随着合并秩发生变化。
其中包括makeSet方法，即初始化集合的方法。我们用p[i]表示元素i所属的集合的祖先（即此集合的标识），用rank[i]表示元素i的秩。

C++代码

1. //初始化并查集    
2. void makeset(int i)   
3. {   
4.      p[i]=i;   
5. }  

//初始化并查集 void makeset(int i){     p[i]=i;}

接着就是合并操作：

C++代码

1. //合并i和j    
2. void union1(int i,int j)   
3. {   
4.      link(findSet(i),findSet(j));   
5. }  

//合并i和j void union1(int i,int j){     link(findSet(i),findSet(j));}

合并的方法，调用了link方法，link方法主要是根据元素的秩修改元素的集合标识，从而使得元素合并。

C++代码

1. //合并工作    
2. void link(int i,int j)   
3. {   
4.      if(rank[i]>rank[j])   
5.      {   
6.           p[i]=p[j];    
7.      }   
8.      else  
9.      {   
10.           p[j]=p[i];   
11.           if(i==j)   
12.           {   
13.               rank[j]=rank[j]+1;    
14.           }    
15.      }   
16. }  

//合并工作 void link(int i,int j){     if(rank[i]>rank[j])     {          p[i]=p[j];      }     else     {          p[j]=p[i];          if(i==j)          {              rank[j]=rank[j]+1;           }      }}

可以看到传给link方法的参数是findSet，这是什么方法呢？其实就是寻找元素i的祖先的方法，最终传给link合并的，其实是元素的祖先。故合并其实是祖先合并。
不过，判断元素属于哪个集合，只需用findSet找到它的祖先即可，元素即与其祖先在同一个集合中。
完整的代码如下：

C++代码

1. #include<iostream>   
2. #define NMAX 101   
3. using namespace std;   
4. int p[NMAX],rank[NMAX];   
5. //初始化   
6. void init()   
7. {   
8.     int i=1;   
9.     for(;i<=NMAX-1;i++)   
10.     {   
11.         p[i]=-1;   
12.         rank[i]=0;    
13.     }    
14. }    
15. //初始化并查集    
16. void makeset(int i)   
17. {   
18.      p[i]=i;   
19. }   
20. //合并工作    
21. void link(int i,int j)   
22. {   
23.      if(rank[i]>rank[j])   
24.      {   
25.           p[i]=p[j];    
26.      }   
27.      else  
28.      {   
29.           p[j]=p[i];   
30.           if(i==j)   
31.           {   
32.               rank[j]=rank[j]+1;    
33.           }    
34.      }   
35. }   
36. //找i的祖先,即集合的代表    
37. int findSet(int i)   
38. {   
39.      if(i!=p[i])   
40.      {   
41.          p[i]=findSet(p[i]);    
42.      }    
43.      return p[i];   
44. }   
45. //合并i和j    
46. void union1(int i,int j)   
47. {   
48.      link(findSet(i),findSet(j));   
49. }   
50. int main()   
51. {   
52.   int k;   
53.   init();   
54.   for(k=1;k<=10;k++)   
55.   {   
56.      makeset(k);    
57.   }    
58.   //<1,2>   
59.   union1(1,2);   
60.   //<3,4>   
61.   union1(3,4);   
62.   //<2,3>   
63.   union1(2,3);   
64.   //<6,7>   
65.   union1(6,7);   
66.   //<5,8>   
67.   union1(5,8);   
68.   //<9,10>   
69.   union1(9,10);   
70.   //<8,9>    
71.   union1(8,9);   
72.      
73.   for(k=1;k<=10;k++)   
74.   {   
75.        printf("%d的集合为%d\n",k,findSet(k));    
76.   }   
77.      
78.   system("pause");   
79.   return 0;    
80. }  

#include<iostream>#define NMAX 101using namespace std;int p[NMAX],rank[NMAX];//初始化void init(){    int i=1;    for(;i<=NMAX-1;i++)    {        p[i]=-1;        rank[i]=0;     } } //初始化并查集 void makeset(int i){     p[i]=i;}//合并工作 void link(int i,int j){     if(rank[i]>rank[j])     {          p[i]=p[j];      }     else     {          p[j]=p[i];          if(i==j)          {              rank[j]=rank[j]+1;           }      }}//找i的祖先,即集合的代表 int findSet(int i){     if(i!=p[i])     {         p[i]=findSet(p[i]);      }      return p[i];}//合并i和j void union1(int i,int j){     link(findSet(i),findSet(j));}int main(){  int k;  init();  for(k=1;k<=10;k++)  {     makeset(k);   }   //<1,2>  union1(1,2);  //<3,4>  union1(3,4);  //<2,3>  union1(2,3);  //<6,7>  union1(6,7);  //<5,8>  union1(5,8);  //<9,10>  union1(9,10);  //<8,9>   union1(8,9);    for(k=1;k<=10;k++)  {       printf("%d的集合为%d\n",k,findSet(k));   }    system("pause");  return 0; }

最终的输出为：
1的集合为1
2的集合为1
3的集合为1
4的集合为1
5的集合为5
6的集合为6
7的集合为6
8的集合为5
9的集合为5
10的集合为5