小白鼠检测液体

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Q:  我们有很多瓶无色的液体，其中有一瓶是毒药，其它都是蒸馏水，实验的小白鼠喝了以后会在5分钟后死亡，而喝到蒸馏水的小白鼠则一切正常。现在有5只小白鼠，请问一下，我们用这五只小白鼠，5分钟的时间，能够检测多少瓶液体的成分？

 

A:  实际上题目出的不太严谨，我们假设总共有N瓶液体，以便下面进行展开。

1.      我们先来看一个更简单的情形，假设我们现在只有一只小白鼠：

这个时候我们还需要对N进行分类讨论：

1.1          如果N==2，小老鼠喝掉其中一瓶，最终死掉，则喝掉的有毒，另外一瓶无毒；反之，你懂的。所以一只小白鼠可以确定2瓶；

1.2          如果N==3，小老鼠有2种选择，要么喝掉一瓶，要么喝掉两瓶。喝掉一瓶死掉，那么可以确定3瓶，没死掉则只能确定1瓶；喝掉两瓶死掉，那么可以确定1瓶，没死掉则可确定2瓶。因此综合来看这个时候只能确定1瓶；

1.3          如果N>=4，这个时候可以确定[N/2]（取整）瓶，只需把所有的瓶子分成两个部分，让这只小白鼠试喝其中一半，如果最终死掉，则可确定另一半无毒，如果没死，则可确定所喝的那一半无毒；

2.      现在更进一步，假设我们现在有2只小白鼠：

需要注意到的一个地方是，两只老鼠可以给我们展示出2^2=4种状态。我们假设小白鼠分别为A, B, 喝完死掉与没死分别为0,1。四种状态分别是

A0B0    A1B0    A0B1   A1B1

同样得，2只老鼠实际上也只能对4瓶水p1, p2, p3,p4产生不同的喝法：

0      0     p1

1      0     p2

0      1     p3

1      1     p4

----------------------

A      B

其中1表示喝，0表示不喝。

 

下面开始展开：

同样，我们对N进行分类讨论，结合上面的讨论，如果N<4，那么两只老鼠完全可以把N瓶液体全部检测出来，你懂的，所以下面的讨论从N==4开始：

2.1          如果N==4，那么

A0B0    -->    p1有毒

A1B0    -->    p2有毒

A0B1    -->    p3有毒

A1B1    -->    p4有毒

计算方法可用下面的方法：

1*(0 OR 1)              NULL         =     ?

NULL                  1*(0OR 1)      =     ?

1*(0 OR 1)  &&  1*(0 OR 1)     =     ?

---------------------------------------------

A*(0 OR 1)            B*(0OR 1)

?为1则有毒，为0则无毒，因为N==4的关系，如果3个都没毒，则剩下的必然就有毒了，所以A0B0-->p1有毒。

2.2          如果N==5，则我们可以将N分成4份（1瓶，1瓶，1瓶，2瓶），类似于2.1&1.2，假设p1,p2,p3,p4分别代表其中的4份。则我们可以确定出3*[N/4]瓶。

2.3          如果N==6，则我们可以将N分成4份（1瓶，1瓶，2瓶，2瓶），类似于2.1&1.2，假设p1,p2,p3,p4分别代表其中的4份。则我们可以确定出2*[N/4]+1*([N/4]+1)瓶。

2.4          如果N==7，则我们可以将N分成4份（1瓶，2瓶，2瓶，2瓶），类似于2.1&1.2，假设p1,p2,p3,p4分别代表其中的4份。则我们可以确定出1*[N/4]+2*([N/4]+1)瓶。

2.5          如果N==8，则我们可以将N分成4份（2瓶，2瓶，2瓶，2瓶），类似于2.1&1.2，假设p1,p2,p3,p4分别代表其中的4份。则我们可以确定出3*[N/4]瓶。

2.6          如果N==4*a+i (i=1,2,3,4), 则可确定3*[N/4]+t    (i=1,4-->t=0;  i=2-->t=1;  i=3-->t=2)

（假设a为任意自然数，下同）

3.      推广到一般情形，假设有K只小白鼠，那么：

3.1          N==2^K，则可确定N瓶；

3.2          N==a*2^K+i(i=1,2,3,…,2^K-1,2^K)，则可确定

(2^K-1)*[N/2^K]+t    (i=1,2^K-->t=0;  i=2-->t=1;  …; i=2^K-1-->t=2^k-2)

总结一下，利用K只老鼠，至少可检测出max((2^K-1)*(N/2^K), N)瓶液体。

欢迎批评指正。多说一句，小白鼠还是太无辜了。。