The Proof of Correctness of Prim's Algorithm

Let P be a connected, weighted graph.

At every iteration of Prim's algorithm,

an edge must be found that connects

a vertex in a subgraph to a vertex

outside the subgraph. Since P is

connected, there will always be a

path to every vertex. The output Y

of Prim's algorithm is a tree, because

the edge and vertex added to tree Y

are connected. Let Y1 be a minimum

spanning tree of graph P. If Y1=Y then

Y is a minimum spanning tree. Otherwise,

let e be the first edge added during the

construction of tree Y that is not in

tree Y1, and V be the set of vertices

onnected by the edges added before

edge e. Then one endpoint of edge

e is in set V and the other is not.

Since tree Y1 is a spanning tree of

graph P, there is a path in tree Y1

joining the two endpoints. As one

travels along the path, one must

encounter an edge f joining a vertex

in set V to one that is not in set V.

Now, at the iteration when edge e

was added to tree Y, edge f could

also have been added and it would

be added instead of edge e if its

weight was less than e (we know

we encountered the opportunity

to take "f" before "e" because "f" is

connected to V, and we visited every

vertex of V before the vertex to

which we connected "e" ["e" is

connected to the last vertex we

visited in V]). Since edge f was

not added, we conclude that

ω(f)≥ω(e)

Let tree Y2 be the graph obtained

by removing edge f from and

adding edge e to tree Y1. It is

easy to show that tree Y2 is connected,

has the same number of edges as

tree Y1, and the total weights of its

edges is not larger than that of tree Y1,

therefore it is also a minimum spanning

tree of graph P and it contains edge

e and all the edges added before it

during the construction of set V.

Repeat the steps above and we will

eventually obtain a minimum

spanning tree of graph P that is

identical to tree Y. This shows

Y is a minimum spanning tree.