本文标题: 矩阵向量叉乘-M' cross (Ma, Mb) = det(M) cross (a,b)-向量与数的混合阵及行列式-求值的中间过程与本质

本文标题: 矩阵向量叉乘-M' cross (Ma, Mb) =   det(M) cross (a,b)-向量与数的混合阵及行列式-求值的中间过程与本质

http://zhidao.baidu.com/question/435017761.htm
我已经找到正确答案。写到空间里去。我原来的答案我隐藏了，竟然被知道管理员推荐，并且无法更改，真是无语。

题：

带矩阵的向量叉乘公式

提问者： iueqjfh|悬赏分：20|浏览次数：55次
请教大家一个问题：
M表示一个3*3的矩阵，a,b分别表示一个3*1的向量
cross(Ma,Mb) = N cross(a,b)
请问 N是什么？如何用M表示？

答：

M'* cross(Ma,Mb) = det(M) * cross(a,b)

即 cross(Ma,Mb) = M'^(-1)* det(M) * cross(a,b), 这里的逆是矩阵的某种广义逆, 当det(M)<>0时, 就是矩阵的逆.
[1]引言
在百度百科搜索向量积，叉积，矢量积，外积，其中前两者给出了重要参考内容。
向量叉积的坐标表示：
AAA 行向量表示：

设a=(a1,b1,c1)，b=(a2,b2,c2)，则

a×b=
下面矩阵的行列式，其中i,j,k为单位向量，其它为数。

ijka1b1c1a2b2c2

=(b1c2-b2c1,c1a2-a1c2,a1b2-a2b1)

 

BBB 列向量表示（便于应用）：

也可以是其转置矩阵的行列式，转置矩阵列向量(i, j, k)'与列向量a,b并成的矩阵， a=(a1, b1, c1)', b=(a2, b2, c2)

ia1a2jb1b2kc1c2

其中，给定直角坐标系的单位向量 i，j，k满足下列等式：
i ×j = k   j ×k = i    k ×i = j

 

[2]题：
M表示n阶矩阵,a,b均表示n*1(列)向量,n=3
设cross(Ma,Mb) = N cross(a,b),问 N 如何用M表示？
解：

记 a=(a1, b1, c1)', b=(a2, b2, c2), det(M)或记为|M|,是M的行列式.

注意，i,j,k是单位向量，我们分别将它们视为列向量(1,0,0)',  (0,1,0)',   (0, 0, 1)'.

cross(a,b) =det ( (i,j,k)', a, b) =det{

ia1a2jb1b2kc1c2

}

=列向量（

det(i, a, b)

det(j, a, b)

det(k, a, b)

)

注意,这个形式的表述很有用.参考下面,很容易理解.

=

(i, j, k) *（

det(i, a, b)

det(j, a, b)

det(k, a, b)

)

很显然， (i, j, k)构成单位矩阵(幺阵), 同时展开的话,与前面的行列式对比,显然具有一致性. 这样表述, 为问题的描述带来方便.

注：以上方阵用{}表示，向量用()括住。上面采用上面引言中的列向量记法。有些内容只是备用,不一定用得到.
下面有一部分内容[[[]]]其实是不需要有的.但是为了与上面的过程过渡,或者便于侧面印证,列了出来.

[[[

设M由三个行向量r1,r2,r3组成.下面用*表示点乘和矩阵乘法.
则Ma=(r1*a, r2*a, r3*a), Mb= (r1*b, r2*b, r3*b)
于是cross((Ma,Mb)=det{

ir1*ar1*bjr2*ar2*bkr3*ar3*b

}

=det { (i,j,k)', Ma, Mb)

=列向量（

det(i, Ma, Mb)

det(j, Ma, Mb)

det(k, Ma, Mb)

)

]]] 

证明的主体的内容在下面: 

又det (M(i, j, k)', Ma, Mb)

=

向量的中间求和式(

det {(Mi), Ma, Mb}

det {(Mj), Ma, Mb}

det {(Mk), Ma, Mb}

 )

其中视Mi为列向,暂不展开
=(
M'*det(i, Ma, Mb)

M'*det(j, Ma, Mb)

M'*det(k, Ma, Mb)

)

注意，其中M'为M的转置。

=M'*(

det(i, Ma, Mb)

det(j, Ma, Mb)

det(k, Ma, Mb)

)

=M'*cross (Ma, Mb)

同时又有

det (M(i, j, k)', Ma, Mb)=det M *det det { (i,j,k)', a, b)= det M *cross (a,b)

故M'*cross (Ma, Mb) =   det M *cross (a,b)

 

按:

注意矩阵乘法有两种等价方案, 以矩阵乘以列向量为例:
(

a11 a12

a21 a22

)*

(

i

j

)

有两种等价的方案,其一是先取行列的内积,再组合

(

a11 i +a12j   

a21 i +a22 j

)

其二是,以左边矩阵的列与右边向量的行作数量性质的乘法(似乎有个专名?特例是, 向量乘以数,称做数量乘), 再求和.

(

a11

a21

)*i+

(

a12

a22

)*j

以上利用到了后面的解释.

 

备用:

(1)
1 1 1
1 x xx
1 xx x

x为三次单位根, xxx=1, xx+x+1=0

(2)符号规范
数字 (x1)1X1
向量 r1_3X1
矩阵 M1_3X3

运算符 数乘* 内积. (同余乘?有没有这概念如无要建立才行好像有类似的) ⊙@ 外积X  带圈的加与乘
直积 kronecher积

(3)射影, 多元数(最近出现的三元数, 哈密顿四元数, 二元向量(复数)的模, 方向, 自旋, 手性, 变换的几何意义, 叉积几何意义,
??? 四元数乘法,如不定义ij=k, 不定义ij=-ji会如何?