栈的应用

算术表达式的求值
栈的应用
由于栈结构具有的后进先出的固有特性，致使栈成为程序设计中常用的工具。以下是几个栈应用的例子。

一、算术表达式的中缀表示
把运算符放在参与运算的两个操作数中间的算术表达式称为中缀表达式。例如：2+3*4 – 6/9
算术表达式中包含了算术运算符和算术量(常量、变量、函数)，而运算符之间又存在着优先级，不能简单地进行从左到右运算，编译程序在求值时，不能简单从左到右运算，必须先算运算级别高的，再算运算级别低的，同一级运算才从左到右。在计算机中进行中缀表达式求值较麻烦。而后缀表达式求值较方便（无须考虑运算符的优先级及圆括号）。
二、算术表达式的后缀表示
把运算符放在参与运算的两个操作数后面的算术表达式称为后缀表达式。
例如，对于下列各中缀表达式：
(1)3/5+8
(2)18-9*(4+3)
对应的后缀表达式为：
(1)3 5 / 8 +
(2)18 9 4 3 + * -
转换规则:把每个运算符都移到它的两个操作数的后面,然后删除掉所有的括号即可.
例如,将中缀表达式a+b*c-d(e*f)转换为后缀表达式.
三、后缀表达式的求值
将中缀表达式转换成等价的后缀表达式后，求值时，不需要再考虑运算符的优先级，只需从左到右扫描一遍后缀表达式即可。具体求值步骤为：从左到右扫描后缀表达式，遇到运算符就把表达式中该运算符前面两个操作数取出并运算，然后把结果带回后缀表达式；继续扫描直到后缀表达式最后一个表达式。
例如，后缀表达式(abc*+def*/-)的求值
四、后缀表达式的求值的算法
设置一个栈，开始时，栈为空，然后从左到右扫描后缀表达式，若遇操作数，则进栈；若遇运算符，则从栈中退出两个元素，先退出的放到运算符的右边，后退出的放到运算符左边，运算后的结果再进栈，直到后缀表达式扫描完毕。此时，栈中仅有一个元素，即为运算的结果。
例，求后缀表达式：1 2 + 8 2 - 7 4 - / *的值，
栈的变化情如下：
步骤栈中元素说明111进栈2122进栈3 遇+号退栈2和1431+2=3的结果3进栈5388进栈63822进栈73遇-号退栈2和88368-2=6的结果6进栈93677进栈1036744进栈1136遇-号退栈4和712367-4=3的结果3进栈133遇/号退栈3和614326/3=2的结果2进栈15 遇*号退栈2和31663*2=6进栈176扫描完毕，运算结束

从上可知，最后求得的后缀表达式之值为6，与用中缀表达式求得的结果一致，但后缀式求值要简单得多。
五、中缀表达式变成等价的后缀表达式的算法
将中缀表达式变成等价的后缀表达式，表达式中操作数次序不变，运算符次序发生变化，同时去掉了圆括号。转换规则是：设立一个栈，存放运算符，首先栈为空，编译程序从左到右扫描中缀表达式，若遇到操作数，直接输出，并输出一个空格作为两个操作数的分隔符；若遇到运算符，则必须与栈顶比较，运算符级别比栈顶级别高则进栈，否则退出栈顶元素并输出，然后输出一个空格作分隔符；若遇到左括号，进栈；若遇到右括号，则一直退栈输出，直到退到左括号止。当栈变成空时，输出的结果即为后缀表达式。将中缀表达式(1+2)*((8-2)/(7-4))变成等价的后缀表达式。
现在用栈来实现该运算，栈的变化及输出结果如下:

步骤栈中元素输出结果说明1( (进栈2(1输出13(+1+进栈4(+1 2输出25 1 2 ++退栈输出，退栈到(止6*1 2 +*进栈7*(1 2 +(进栈8*((1 2 +(进栈9*((1 2 + 8输出810*((-1 2 + 8输出211*((-1 2 + 8 2- 进栈12*(1 2 + 8 2 --退栈输出，退栈到(止13*(/1 2 + 8 2 -/ 进栈14*(/(1 2 + 8 2 -( 进栈15*(/(1 2 + 8 2 - 7输出716*(/(-1 2 + 8 2 - 7-进栈17*(/(-1 2 + 8 2 - 7 4输出418*(-1 2 + 8 2 - 7 4 --退栈输出，退栈到(止19*1 2 + 8 2 - 7 4 - //退栈输出，退栈到(止20 1 2 + 8 2 - 7 4 - / **退栈并输出

1、 数制转换
   　 将一个非负的十进制整数N转换为另一个等价的基为B的B进制数的问题，很容易通过"除B取余法"来解决。
　　【例】将十进制数13转化为二进制数。
    　解答：按除2取余法，得到的余数依次是1、0、1、1，则十进制数转化为二进制数为1101。
    　分析：由于最先得到的余数是转化结果的最低位，最后得到的余数是转化结果的最高位，因此很容易用栈来解决。

    　转换算法如下：

          typedef int DataType;//应将顺序栈的DataType定义改为整型
          void MultiBaseOutput (int N,int B)
          {//假设N是非负的十进制整数，输出等值的B进制数
              int i;
              SeqStack S;
              InitStack(&S);
              while(N){  //从右向左产生B进制的各位数字，并将其进栈
                    push(&S,N%B); //将bi进栈0<=i<=j
                    N=N/B;
              }
              while(!StackEmpty(&S)){  //栈非空时退栈输出
                     i=Pop(&S);
                     printf("%d",i);
              }
            }

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  2、 栈与递归
（1） 递归
    　所谓递归是指：若在一个函数、过程或者数据结构定义的内部，直接（或间接）出现定义本身的应用，则称它们是递归的，或者是递归定义的。
    　递归是一种强有力的数学工具，它可使问题的描述和求解变得简洁和清晰。
    递归算法常常比非递归算法更易设计，尤其是当问题本身或所涉及的数据结构是递归定义的时候，使用递归算法特别合适。

（2）递归算法的设计步骤
    第一步骤（递归步骤）：将规模较大的原问题分解为一个或多个规模更小、但具有类似于原问题特性的子问题。即较大的问题递归地用较小的子问题来描述，解原问题的方法同样可用来解这些子问题。
    第二步骤：确定一个或多个无须分解、可直接求解的最小子问题（称为递归的终止条件）。
　　【例】非负整数n的阶乘可递归定义为：
 
                         


（3）栈在递归算法的内部实现中所起的作用。
　　①调用函数时：系统将会为调用者构造一个由参数表和返回地址组成的活动记录，并将其压入到由系统提供的运行时刻栈的栈顶，然后将程序的控制权转移到被调函数。若被调函数有局部变量，则在运行时刻栈的栈顶也要为其分配相应的空间。因此，活动记录和这些局部变量形成了一个可供被调函数使用的活动结构。

        

  注意：
    参数表的内容为实参，返回地址是函数调用语句的下一指令的位置。

　　②被调函数执行完毕时：系统将运行时刻栈栈顶的活动结构退栈，并根据退栈的活动结构中所保存的返回地址将程序的控制权转移给调用者继续执行。

前缀式变后缀式算法
前缀式的特点：每个操作符后有两个操作数（可能为运算结果）
算法思想：从左到右扫描前缀表达式
1. 操作符进栈(S)，同时记录操作符已接受的操作数数目（count），初值为0
2. 操作数直接写到一个buffer中，同时栈顶操作数所对应的count++
while(count==2) {pop(S,e)；e填入buffer；新栈顶所对应的count+1；}
继续1、2步骤直至前缀表达式扫描结束。
数据结构：
typedef struct tagStackElem
{
char operand;
int count;
} StackElem;
typedef struct tagStack
{
StackElem a[MAXSIZE];
int top;
}
算法：
void transform(char *prefix,char *suffix)
{
Stack S;
S.top=-1;
char *p=prefix;
char *q=suffix;
while(*p!=‘\0’)
{
if(operand(*p)) {
S.a[++S.top].operand=*(p++);
S.a[S.top].count=0;
}
else {
*(q++)=*(p++);
S.a[S.top].count++;
while(S.a[S.top].count==2)
{
*(q++)=S.a[S.top].operand;
S.top--;
S.a[S.top].count++;
}
}
}
q=‘\0’;
}
实例：+++ab+cde

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