双射

目录

简介

定义

双射的应用

举例

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编辑本段简介

　　既是单射又是满射的映射称为双射，亦称“一一映射”

　　设f是从集合A到集合B的映射，若R(f)=B,即B中任一元素b都是A中某元素的像，则称f为A到B上的满射；若对A中任意两个不同元素a(1)不等于a(2),他们的像f<a(1)>不等于f<a(2)>,则称f为A到B的单射；若映射f既是单射，又是满射，则称映射f为A到B的“双射”(或“一一映射”)。 函数为双射当且仅当每个可能的像有且仅有一个变量与之对应。

　　函数f: A → B为双射当且仅当对任意b∈B存在唯一a∈A满足f(a) = b。

　　函数f : A → B为双射当且仅当其可逆，即，存在函数g: B → A满足g o f = A上的恒等函数，且f o g为B上的恒等函数。

　　两个双射的复合也是双射。如g o f为双射，则仅能得出f为单射且g为满射。

　　同一集合上的双射构成一个对称群。

　　如果X,Y皆为实数集R，则双射函数f:R→R可以被视觉化为两根任意的水平直线只相交正好一次。（这是水平线测试的一个特例。）

  

映射函数

编辑本段定义

　　在集合论中，一个由集合X至集合Y的映射称为双射的，若对集合Y内的任意元素y，存在唯一一个集合X内的元素x，使得 y = f(x)。

　　换句话说，f为双射的若其为两集合间的一对一对应，亦即同时单射且满射。

　　例如，由整数集合至的函数succ，其将每一个整数x连结至整数succ(x)=x+1，及另一函数sumdif，其将每一对实数(x,y)连结至sumdif(x,y) = (x + y, x − y)。

　　一双射函数亦称为置换。后者一般较常使用在X=Y时。以由X至Y的所有双射组成的集合标记为XY.

　　双射函数在许多数学领域扮演着很基本的角色，如在同构(和如同胚和微分同构等相关概念)、置换群、投影映射及许多其他概念的基本上。

  

三角函数图像

编辑本段双射的应用

应用

　　双射的原理是一组关系，在判别某一种想法在应用能否双向的找到某一唯一对应的事物，理论上通常要判断这种想法是否满足双射的关系。因为具体的实施这一想法的途径我们是并不知道的，所以需要抽象出他们的关系，找到这个双射，如果找不到，并且验证这个双射不存在，那么想法是不可能实现的。

性质

　　一由实数R至R的函数f是双射的当且仅当其图像和任一水平线相交且只相交于一点。设X为一集合，则由X至其本身的双射函数，加上其复合函数(0)的运算，会形成一个群，一个X的对称群，其标记为S(X)、SX或X!。取一定义域的子集A及一陪域的子集B，则|f(A)| = |A| 且 |f﹣&sup1;(B)| = |B|。若X和Y为具相同势的有限集合，且f: X → Y，则下列三种说法是等价的：f 为一双射函数。f 为一满射函数。f 为一单射函数。

传统 IOC 与 双射的区别

　　IoC的优点和缺点

　　IoC最大的好处是因为把对象生成放在了XML里定义，所以当我们需要换一个实现子类将会变成很简单（一般这样的对象都是实现于某种接口的），只要修改XML就可以了，这样我们甚至可以实现对象的热插拨（有点象USB接口和SCIS硬盘了）。

　　IoC最大的缺点是：（1）生成一个对象的步骤变复杂了（其实上操作上还是挺简单的），对于不习惯这种方式的人，会觉得有些别扭和不直观。（2）对象生成因为是使用反射编程，在效率上有些损耗。但相对于IoC提高的维护性和灵活性来说，这点损耗是微不足道的，除非某对象的生成对效率要求特别高。（3）缺少IDE重构操作的支持，如果在Eclipse要对类改名，那么你还需要去XML文件里手工去改了，这似乎是所有XML方式的缺憾所在。

　　双射（bijection，即 bidirectional injection的简称）：当注出（outject）属性数据时，视图可以通过名称找到它。在 postback 或者组件初始化时，数据被注入（inject）到一个组件中。双射与传统 IOC 的主要不同点在于，双射使长期作用域中的组件可以引用短期作用域中的组件。可以进行这种连接是因为双射在调用组件时（而不是启动容器时）解析依赖项。双射是有状态组件开发的基础。

编辑本段举例

　　假设存在关于x的函数:y=2x+3，对于任何x∈R及y∈R，由于y是x的线性函数，因此对于任何x都有唯一确定的y与其对应。又通过整理可以得到x=(y-3)/2，因此对于任何y，也有唯一确定的x与其对应。这样，在y=2x+3在x∈R、y∈R的域中就是一个双射函数。

　　而对于函数y=x^2+2,对于x∈R、y∈R的取值范围内，对于任何x，都有唯一确定的y与其对应。但对于

　　y≠2，任何y都对应2个不同的x。这样y=x^+2在x∈R、y∈R的取值范围内，不是双射函数。但对于x∈[0,+∞）、y∈[2,+∞)。对于任何x，都有唯一确定的y与之对应，而对于任何y，都有x=(y-2)^0.5，即唯一确定的x与之对应。因此它是一个双射函数