本科高数都学了什么？

         本科高等数学都讲了些什么，有什么用，学起来有哪些难度？

        Ok，一点点的回答，不求章法，但求看后对高数有点皮毛的见解。

算是地三次通读本科高数了，数学题也做了有成千道了吧，就像高中学习时发现的，在高考前觉得这么多书，这么多知识点，怎么才能记得住啊，但复习到最后就发现，其实脑海里感觉没多少东西，也就一些经典的知识点，哪些呢，就是在通往最难的、最终要与实际需求接轨的哪些理论、知识中，需要一些定理性的、支撑性的知识。就像一开始学习二元函数是为多元函数作准备，学习圆是为了学习椭圆、圆锥曲线做准备，中间我们花了大量的时间去训练解题技巧，其实这些技巧现在我觉得实在是浪费了我们大量的时间，我们靠题海战术去接触每一种题型，而忽略了学习数学的目的，数学是一切科学技术的基础、工具，而不是目的，将数学当作最终目的去学习，也只能为考试做贡献罢了。

        不说那么多废话了，本科高数学了什么东西？

        首先是微积分（一元的啊），微积分最初应该是牛顿用来解决物理问题发明的，如靠一元微积分就可以计算曲线下面积、旋转体体积、面积、曲线弧长、变力做工、引力、液体压力等（其实，这些应用才是我们学习数学的目的），而导数在求解最值、渐近线、复杂函数的作图方面也很有用，是十分重要的数学工具，所以是重点知识，而在微积分中，极限是微积分的支撑知识点，如知道极限才能理解积分元dx的意义，才能推出理解各种初等函数导数公式，所以我们要先理解极限，才能进一步的学习微积分，极限就是微积分前的一个关键知识内容，常用的极限公式的推导，如x->0时，“公式”（发现博客里插入公式真是很难，算了以后在修改吧）（其实关于e的由来还是一个很有意思的问题）、洛比达法则等。极限掌握了的情况下，才能进一部理解微分、求导。微积分的学习中，往往要求一些复杂函数的积分或导数，求导是比较简单的，一步步来就行了，积分相对就难了，但一般都能通过各种变换化成一系列初等函数的积分组合。在积分方面，往往我们就要花费大量的时间去训练解题技巧，其实我们做完大量的题目后就会发现，这东西完全是体力活，当初学习概率时我们老师说马克思没事就做点微积分来消遣，当时我还很纳闷，这应该是自虐啊，但后来是理解了，微积分相当能在不知不觉中将一大把时间消耗过去的。对此，我的建议是，学会推导方法，记住典型定义。记住一些比较有灵性的推导步骤，我在这里称为点睛之笔。比如在推导反三角函数的导数时，用倒数法（dy/dx=1/(dx/dy)），然后代入原函数，这样就没必要把那一堆导数公式死机下来。记住一些定义也是重要的，如曲率（|dα/ds|）、曲率半径、渐近线的定义，如果知道了定义，即便不知道其公式，也能根据定义将其推导出来。同样，我们发现，大部分初等函数都能由导数公式得出结果，所以导数学会了，积分基本上也没啥大问题，但一些特殊的函数，如sec,csc，求积分应该是很头疼的，对这种函数我们就有必要记住推导方法，因为想长时间记住公式是很难的（当然可以对自己的记忆力挑战一下）。典型的积分方法有凑微分、变量替换、分布积分等，另外涉及到一些技巧如递推公式法，关于涉及到积分等式、不等式的一些证明，其实都可以用这些积分方法来解决，不等式的证明麻烦一些，因为不等式的证明往往要比等式证明复杂，一个等式成立的原因往往只有一个（多了也就几个），二不等式成立的原因往往千差万别（就像托尔斯泰小说《复活》中写的，幸福的家庭千篇一律，不幸的家庭千差万别），所以更考察数学技巧的广度，如果广度不够，没办法，题海积累吧。柯西不等式（辅助函数法、判别式证明法、二重积分法）的证明很有意思，这个不等式也很有用，能帮助解决很多问题。微积分是相当强大的一个数学工具，所以为了要理解微积分的各种性质，教材中穿插了微分中值定理（介值定理、零值定理、费马Feima定理、罗尔Rolle定理，拉格朗日Lagrange中值定理、柯西Cauchy中值定理、并最终引出的泰勒公式，注意泰勒公式的推导，多项式与Cauchy定理的套用）、反常积分，为了理解这些中值定理我们又需要做一大堆相关的证明题，有些证明题真的是相当费劲，但总的来说，解题思路也就那么几个，首先要记住那些定理推导时使用的方法，即构造函数法，然后利用基本的中值定理就ok了，再一大堆中值定理中，只要能够推导出最复杂的柯西Cauchy中值定理，其它定理就小儿科了；还有就是需要联系一些其它的数学知识点，即数学技巧，如递推公式法往往是一些重要公式、定理的推导方法，如、Γ函数（）的性质。反常积分其实就是涉及到积分是否收敛（极限是否存在）问题，其中关于Γ函数的讲解需要关注(虽然大纲基本不要求)，因为概率中要用到。说到收敛问题，就要联系到级数，因为有些级数是能转换成积分问题的，级数主要涉及到收敛判别和求收敛域问题，一堆判别定理，根据这些判别定理基本上就能把这些问题解决。级数、反常积分都要涉及到收敛判别定理，这些判别定理基本上都能通过求出积分函数来推出，呵呵，有点不确定啊，等会看下。级数我终觉得要作为高数中单独一部分来说，因为级数所涉及到的泰勒Taylor公式、傅里叶变换实在是太重要了，尤其是傅里叶变换，在信号领域要是不会傅里叶变换简直能要了亲命啊。理解泰勒级数的证明(其实两个公式都是先认定可以展开成具体的形式，然后利用微积分去求系数，Taylor公式用求导去求系数，Fourier系数的求解则用三角函数系的正交性进行积分求解)，知道相关概念（拉格朗日余项、佩亚诺Peano余项、麦克劳林Maclaurin公式），级数中求和函数或展开成幂级数其实都是用泰勒级数，只不过知道了初等函数的展开式时，可以将函数分解成初等函数的组合，然后加起来就是了。

        第二个是解常微分方程，常微分方程基本上还是对积分的一种练习（基本不需要求导，除了一些变换），但常微分方程又是十分重要的，在应用上相当广泛啊，电路分析、力学等啊。微分方程复杂多变，本科学习的只是很少一部分，一阶的主要是一阶线性方程（含可转化为一阶的告诫方程、伯努利方程、常微分方程、齐次方程等），记住怎么推导公式（待定系数法）就ok。二阶的主要是二阶常系数线性非齐次方程，特解语非齐次的形式关系，待定系数法求特解，也是要知道怎么推导公式，不然很容易遗忘（当然，若应付考试，最好还是试前推一遍记住省事）。

        第三个是空间解析几何，在学了一堆代数后，能够学一些几何知识还是很有意思的，特别是在空间曲面的学习中，很是考察一个人的空间想象能力（惭愧，一个马鞍面让我花了三个小时）。本科中这一个知识点的学习基本上是为多重积分做准备（就是，要先知道积分域是个什么东东啊），设计到的内容主要是直线、平面、空间曲线、空间曲面，空间曲线涉及到切线和法平面，空间曲面设计到法向量、切平面（涉及到多元函数微分喽）。几种常见的空间曲面要有空间的感性认识，对于多重积分是有必要的。

        最后就是多元的微积分了，多元微分主要涉及到求微分、求（条件）极值（判别式法、拉格朗日乘数法）；多重积分主要是涉及到积分域，针对不同的积分域和积分函数选择不同的积分技巧（柱坐标系、极坐标系等，在有竞争时以积分域优先），另外就是曲线积分和曲面积分，都是有两类，对线（面）的和对坐标的，要理解他们具体的含义、应用（相当广泛啊，质量、做功、通量）。通过两类（曲线和曲面）积分之间的关系（格林Green公式、斯托克斯Stox公式、高斯Goss公式），我们又引出了场论初步（万恶的场论，搞死多少工科人），梯度、散度、旋度（微分算子啊、麦克斯韦定理啊），梯度主要由方向导数引发而来（最值），梯度针对数量场，是向量；散度、旋度针对向量场，但散度是数量，是通量大小的坐标化，旋度是向量，是换流量矢量的坐标化，要注意，第二类曲线（面）积分中，方向问题很关键，应通过格林、斯托克斯公式的推导加深理解。

        如何啊，感觉最后哪里用得到分成四个部分的内容啊，其实就只有一部分啊，本科高数的内容-微积分（好像本来就是叫这个啊），要说对于以后工科专业课学习中最有用的，那就是场论（其实一个场论就把微积分的核心给包含进来了）、个别特殊函数（如Γ函数）、常微分方程、傅立叶变换！

        没办法，要考试，就训练解题技巧吧，虽然做的大部分题以后根本用不着！悲剧，还有线代、概率要写，好累。

        干脆这个系列就叫“我们的知识储备吧”！