随机数生成问题分类以及题目汇总

最近在看关于随机数的生成问题。计算机程序设计艺术（第二卷第三章）以及编程珠玑（第12章）上都有讨论。就结合这两本书总结下。这里主要讲三个算法分别是

1.选择抽样算法

2.水库抽样算法

3.洗牌算法

1. 选择抽样算法：

问题描述：从含有N个记录的一个文件中等概率的随机选取n个记录。

思路：如第一个记录以n/N的概率被选中，果我们已经在前t个记录中选择了m个项目，则对第t+1个记录应以概率（n-m）/(N-t)加以选择(也就是说在剩余的N-t个记录中选择n-m个记录。每个记录被选取的概率应为（n-m）/(N-t)）算法看似不合理，其实已经证明是正确的，详见计算机程序设计艺术

算法（选择抽样技术）：从N个记录的一个集合中随机的选择n个记录，其中0<n≤N 。

S1.[初始化]   置t =0, m=0 (在本算法中m表示已经选择的记录数，而t表示我们已经处理过的输入记录的总数)

S2.[生车U]    生成在0到1之间一致的分布的随机数U

S3 [检验]      如果（N-t）U ≥n-m 则转到步骤S5 

S4 [选择]      把下一个记录作为样本，m和t加1.如果m < n ,则转到步骤S2；否则抽样完成，算法终止

S5 [跳]         跳过下一个记录（不把它选为样本），t 加1，并转到步骤S2

举例：

实现：输出0到n-1（包含0和n-1）个范围内的m个随机整数的有序列表，不允许重复。(注意编号是从0开始，编号从1开始类似)

void genKnuth(int m, int n)

{

for(int i = 0; i < n; i++)

{

if(bigrand() % n-i  < m)   //相当于前面算法描述中S3: 在程序运行时，if条件成立的情况是 bigrand()%n-i 的结果为0 到m-1 共m                                            //个。概率为 m/n-i 说明：我们亦可以把if(bigrand()%n-i < m) 写为 M = random(1, n-i) if M < m........

{

cout << i << "\n";

m--;  

}

}

}

为了方便理解，我们贴出伪代码：

select = m

remaining = n

for i = [0, n)

if(bigrand() % remaining) < select

print    i

select--

remaining-- //  相当于S5中t加1 也就是剩余的减1

另附算法：

上述算法的运行时间与n成正比，如果n很大的话会比较耗时。使用下面改进算法可以在一定程度上减少运行时间

void gensets(int m, int n)

{

set<int>  S;

while(S.size() < m)

{

S.insert(bigrand()%n);

}

set<int>::iterator i ;

for(i = S.begin(); i != S.end(); ++i)

cout << *i <<endl;

}

当m相对于n较小时完整程序需要O(mlogm)时间（插入算法耗时O(logm),遍历算法O(m))。此算法的缺点是m如果很大的话程序空间开销会比较大（用set保存m）

2. 水库抽样算法

问题描述：从确切大小未知但是大于等于n个一个文件中等概率随机选择n个记录（也就是说N未知的情况下随机选择n个记录）。

思路：用一个称作“水库”的辅助文件存放有作为最后抽样的候选者的所有记录。下面算法使用具有不同索引 I[j] 的一张表，其中

1 ≤ j ≤ n ,每个索引指向水库的一个记录。当把K个记录放入水库后，以后对扫描到的K+i 到N个记录每个记录都以K/K+i 的概率随机替换水库中的记录

算法（水库抽样）：

R1.[初始化]      输入前n个记录，并把它们复制到水库中。对于1 ≤ j ≤ n 置I[j] = j ,并置t = m  = n（如果抽样文件少于n个记录，有必要中断

算法并报告失败。在算法运行期间，索引 I[1],....,I[n]指向当前抽样中的记录； m是水库的大小， t是迄今为止已经处理过的输入记录数）

R2.[文件结束？]      如果无记录输入，则转到步骤R6

R3[生成并检验]      t增1，然后生成1和t（含t）之间的一个随机数M。 如果M> n 则转到R5

R4[加入到水库中]     复制输入文件下一个记录到水库中，m赠1并置I[M] = m (以前由I[M]指示的记录现在在抽样中又新的记录代替)转到R2

R5[跳]      跳过输入文件的下一个记录（不把它包含在水库中），并且返回步骤R2

R6[第二次扫描]     对 I表的项进行排序使得I[1] < ..... < I[n]; 然后扫描水库，并把具有这些索引的记录复制到保存最后抽样的输出文件中  

举例：

实现：输出1到n（包含1和n）个范围内的m个随机整数的有序列表，不允许重复。

Init : a reservoir with the size： k
        for    i= k+1 to N
            M=random(1, i);
            if( M  ≤ k)  // 注：网上大多数算法都写成 M < K 那应该是不正确的。 此句对应步骤R3 。M <= K 的概率为 K/i
                 SWAP(I[M], I[i])
       end for

3.洗牌算法

// 相当于有n！ 个选择。 第一个索引位置有n中选择。 第二个索引位置有n-1个选择（即random(2,n)）以此类推.............

for i:=1 to n do swap(a[i], a[random(i,n)]); // 注意加粗的是i不是1

此算法的详细描述可以参见：http://bbs.bccn.net/thread-331122-1-1.html 与http://topic.csdn.net/u/20120221/14/4eb5fad8-618d-41d1-8ac6-cb6999d4fc57.html

题目1：（来自：http://blog.csdn.net/hackbuteer1/article/details/7486704）
已知有个rand7()的函数，返回1到7随机自然数，让利用这个rand7()构造rand10() 随机1~10。
分析：要保证rand10()在整数1-10的均匀分布，可以构造一个1-10*n的均匀分布的随机整数区间（n为任何正整数）。假设x是这个1-10*n区间上的一个随机整数，那么x%10+1就是均匀分布在1-10区间上的整数。由于(rand7()-1)*7+rand7()可以构造出均匀分布在1-49的随机数（原因见下面的说明），可以将41～49这样的随机数剔除掉，得到的数1-40仍然是均匀分布在1-40的，这是因为每个数都可以看成一个独立事件。
下面说明为什么(rand7()-1)*7+rand7()可以构造出均匀分布在1-49的随机数:
首先rand7()-1得到一个离散整数集合{0，1，2，3，4，5，6}，其中每个整数的出现概率都是1/7。那么(rand7()-1)*7得到一个离散整数集合A={0，7，14，21，28，35，42}，其中每个整数的出现概率也都是1/7。而rand7()得到的集合B={1，2，3，4，5，6，7}中每个整数出现的概率也是1/7。显然集合A和B中任何两个元素组合可以与1-49之间的一个整数一一对应，也就是说1-49之间的任何一个数，可以唯一确定A和B中两个元素的一种组合方式，反过来也成立。由于A和B中元素可以看成是独立事件，根据独立事件的概率公式P(AB)=P(A)P(B)，得到每个组合的概率是1/7*1/7=1/49。因此(rand7()-1)*7+rand7()生成的整数均匀分布在1-49之间，每个数的概率都是1/49。（注：集合A每个元素之间差7个连续数字，将 rand7 得到的1-7 放到空隙正好是连续的整数1-49.每个数字出现的概率相同）
程序：

[cpp] view plaincopy

1. int rand_10()  
2. {  
3.     int x = 0;  
4.     do  
5.     {  
6.         x = 7 * (rand7() - 1) + rand7();  
7.     }while(x > 40);  
8.     return x % 10 + 1;  
9. }  

注：由朋友问为什么用while(x>40)而不用while(x>10）呢？原因是如果用while(x>10）则有40/49的概率需要循环while，很有可能死循环了。
问题描述
已知random3()这个随机数产生器生成[1, 3]范围的随机数，请用random3()构造random5()函数，生成[1, 5]的随机数？
问题分析
如何从[1-3]范围的数构造更大范围的数呢？同时满足这个更大范围的数出现概率是相同的，可以想到的运算包括两种：加法和乘法
考虑下面的表达式：
3 * (random3() – 1) + random3();
可以计算得到上述表达式的范围是[1, 9]  而且数的出现概率是相同的，即1/9
下面考虑如何从[1, 9]范围的数生成[1, 5]的数呢？
可以想到的方法就是 rejection sampling 方法，即生成[1, 9]的随机数，如果数的范围不在[1, 5]内，则重新取样
解决方法

[cpp] view plaincopy

1. int random5()  
2. {  
3.     int val = 0;  
4.     do  
5.     {  
6.         val = 3 * (random3() - 1) + random3();  
7.     }while(val > 5);  
8.     return val;  
9. }  

归纳总结
将这个问题进一步抽象，已知random_m()随机数生成器的范围是[1, m] 求random_n()生成[1, n]范围的函数，m < n &&n <= m *m
一般解法：

[cpp] view plaincopy

1. int random_n()  
2. {  
3.     int val = 0;  
4.     int t;   //t为n的最大倍数，且满足t<m*m  
5.     do  
6.     {  
7.         val = m * (random_m() - 1) + random_m();  
8.     }while(val > t);  
9.     return val;  
10. }  

题目2: 

    已知随机函数rand(),以p的概率产生0，以1-p的概率产生1，现在要求设计一个新的随机函数newRand(), 使其以1/n的等概率产生1~n之间的任意一个数。
解决思路：可以通过已知随机函数rand()产生等概率产生0和1的新随机函数Rand()，然后调用k（k为整数n的二进制表示的位数）次Rand()函数，得到一个长度为k的0和1序列，以此序列所形成的整数即为1--n之间的数字。注意：从产生序列得到的整数有可能大于n，如果大于n的话，则重新产生直至得到的整数不大于n。
第一步：由rand()函数产生Rand()函数，Rand()函数等概率产生0和1。

[cpp] view plaincopy

1. int Rand()  
2. {  
3.     int i1 = rand();  
4.     int i2 = rand();  
5.     if(i1==0 && i2==1)  
6.         return 1;  
7.     else if(i1==1 && i2==0)  
8.         return 0;  
9.     else  
10.         return Rand();  
11.     return -1;  
12. }  

第二步：计算整数n的二进制表示所拥有的位数k，k = 1 +log2n（log以2为底n）
第三步：调用ｋ次Rand()产生随机数。

[cpp] view plaincopy

1. int newRand()  
2. {  
3.     int result = 0;  
4.     for(int i = 0 ; i < k ; ++i)  
5.     {  
6.         if(Rand() == 1)  
7.             result |= (1<<i);  
8.     }  
9.     if(result > n)  
10.         return newRand();  
11.     return result;  
12. }