逐步修改素数高效算法

合数过滤筛选法

算法描述：我们知道，素数N不能被2~(N-1)间的任何数整除；反过来看，只要能被2~(N-1)间的任何数整除的N，都不是素数。所以我们可以采用一个简单的排除法：就是对N以内的所有数，只要逐个去除值为2~(N-1)的倍数的数，剩下的就是素数。

C语言实现

// 合数过滤筛选法 Ver1 
// 参数：n 求解n以内(包括n)的素数
// 返回值：n以内素数个数
int CompositeNumFilterV1(int n)
{
 int i, j;
 // 素数数量统计
 int count = 0;
 // 分配素数标记空间，结合后文思考为何+1
 char* flag = (char*)malloc( n+1 ); 
 
 // 初始化素数标记
 for (i=2; i<=n; i++)
 {
   // 为什么*(p+i)要写成flag[i]呢？可读性更佳尔
   flag[i] = 1;
 }
 
 // 写程序要注意排版和留空，方便阅读，也可减少出错几率
 // 以2~(N-1)为因子过滤合数
 for (i=2; i < n; i++)
 {
   for (j=2; i*j <= n; j++)
   {
    // i*j是由i,j两整数相乘而得，显然不是素数
    flag[i*j] = 0;
   }
 }
 
 // 统计素数个数
 for (i=2; i<=n; i++)
 {
   // 其实if(flag)就其同样作用了，但这么写是有留言的
   // 请参阅《C语言程序设计常见错误剖析及解决之道》一文
   if (1 == flag[i]) count++;
 }
  
 // 因输出费时，且和算法核心相关不大，故略
 
 // 释放内存，别忘了传说中的内存泄漏
 free(flag);
 
 return count;
}

在上文给出的main函数中以不同参数调用CompositeNumFilterV1函数，得到执行结果如下：

[100000]以内素数个数：9592, 计算用时：15毫秒
[1000000]以内素数个数：78498, 计算用时：125毫秒
[5000000]以内素数个数：348513, 计算用时：2578毫秒
[10000000]以内素数个数：664579, 计算用时：6281毫秒

注：因程序是非独占性运行的，所以时间不是完全精确的，但基本能反映实情

显然，比上文中的试除法要快，而且谁都可以看到上例是一个未经优化的粗陋版本，好多地方是三藏故意采用比较低效做法，为了与后文的优化版比较，凸显优化之重要，也为了初学者记住别采用类似低效做法，下面我们开始优化之旅

优化分析

上面CompositeNumFilterV1函数存在的问题有：

1.   在外层循环，需要一直执行到n-1吗？不要，因为n/2~n-1间的数显然不能整出n 

2.   在内层循环中重复使用i*j显然是低效的，考虑到计算机中加减运算速度比乘除快，可以考虑变乘法为加法

3.   在循环修改flag过程中，其实有很多数会被重复计算若干次，比如6=2*3=3*2，会被重复置0，类似操作很多，所以我们得设法避免或减少flag重复置0

据上述分析，我们可将程序优化如下：

// 合数过滤筛选法 Ver2 
// 参数：n 求解n以内(包括n)的素数
// 返回值：n以内素数个数
int CompositeNumFilterV2(int n)
{
 int i, j;
 // 素数数量统计
 int count = 0;
 // 分配素数标记空间，明白+1原因了吧，因为浪费了一个flag[0]
 char* flag = (char*)malloc( n+1 ); 
 
 // 初始化素数标记，要高效点咯
 flag[2] = 1;
 // 注意是i<n不是上例中的i<=n了，理由自思
 for (i=3; i<n; i++)
 {
   flag[i++] = 1;
   // 偶数自然不是素数，直接置0好了
   flag[i] = 0;
 }
 // n为奇数
 if (n%2 != 0)
 {
   flag[n] = 1;
 }
 
 // 从3开始filter，因为2的倍数早在初始化时代就干掉了
 // 到n/2止的理由还要说吗
 for (i=3; i <= n/2; i++)
 {
   // i是合数，请歇着吧，因为您的工作早有您的质因子代劳了
   if (0 == flag[i]) continue;
  
   // 从i的2倍开始过滤，变乘法为加法
   for (j=i+i; j <= n; j+=i)
   {
    flag[j] = 0;
   }
 }
 
 // 统计素数个数
 for (i=2; i<=n; i++)
 {
   if (flag[i]) count++;
 }
  
 // 因输出费时，且和算法核心相关不大，故略
 
 // 释放内存，别忘了传说中的内存泄漏
 free(flag);
 
 return count;
}

再来调用CompositeNumFilterV2得到执行结果：

[100000]以内素数个数：9592, 计算用时：n太小，时间精度不够
[1000000]以内素数个数：78498, 计算用时：31毫秒
[5000000]以内素数个数：348513, 计算用时：453毫秒
[10000000]以内素数个数：664579, 计算用时：1062毫秒
[100000000]以内素数个数：5761455, 计算用时：12973毫秒

哇哇，比昨天的试除发快了好多倍，可见算法的威力，值得好好学习，别说学算法没用咯。

上例着那个计算一亿以内的素数只要约13秒，应该算不错了，今天是否可以休息了呢？No，我们要追求极限！

intCompositeNumFilterV3(int n)
{
 int i, j;
 // 素数数量统计
 int count = 0;
 // 分配素数标记空间，明白+1原因了吧，因为浪费了一个flag[0]
 char* flag = (char*)malloc( n+1 );
 // 干嘛用的，请仔细研究下文
 int mpLen = 2*3*5*7*11*13;
 char magicPattern[mpLen];
 // 奇怪的代码，why，思考无法代劳，想！
 for (i=0; i<mpLen; i++)
 {
   magicPattern[i++] = 1;
   magicPattern[i++] = 0;
   magicPattern[i++] = 0;
   magicPattern[i++] = 0;
   magicPattern[i++] = 1;
   magicPattern[i] = 0;
 }
 for (i=4; i<=mpLen; i+=5)
   magicPattern[i] = 0;
 for (i=6; i<=mpLen; i+=7)
   magicPattern[i] = 0;
 for (i=10; i<=mpLen; i+=11)
   magicPattern[i] = 0;
 for (i=12; i<=mpLen; i+=13)
   magicPattern[i] = 0;
 
 // 新的初始化方法,将2,3,5,7,11,13的倍数全干掉
 // 而且采用memcpy以mpLen长的magicPattern来批量处理
 int remainder = n%mpLen;
 char* p = flag+1;
 char* pstop = p+n-remainder;
 while (p < pstop)
 {
   memcpy(p, magicPattern, mpLen);
   p += mpLen;
 }
 if (remainder > 0)
 {
   memcpy(p, magicPattern, remainder);
 }
 flag[2] = 1;
 flag[3] = 1;
 flag[5] = 1;
 flag[7] = 1;
 flag[11] = 1;
 flag[13] = 1;
 
 // 从17开始filter，因为2,3,5,7,11,13的倍数早被kill了
 // 到n/13止的，哈哈，少了好多吧
 int stop = n/13;
 for (i=17; i <= stop; i++)
 {
   // i是合数，请歇着吧，因为您的工作早有您的质因子代劳了
   if (0 == flag[i]) continue;
  
   // 从i的17倍开始过滤
   int step = i*2;
   for (j=i*17; j <= n; j+=step)
   {
    flag[j] = 0;
   }
 }
 
 // 统计素数个数
 for (i=2; i<=n; i++)
 {
   if (flag[i]) count++;
 }
  
 // 因输出费时，且和算法核心相关不大，故略
 
 // 释放内存，别忘了传说中的内存泄漏
 free(flag);
 
 return count;
}

再看CompositeNumFilterV3执行结果：

[1000000]以内素数个数：78498, 计算用时：15毫秒
[5000000]以内素数个数：348513, 计算用时：203毫秒
[10000000]以内素数个数：664579, 计算用时：515毫秒
[100000000]以内素数个数：5761455, 计算用时：6421毫秒