随机数问题——基础知识必备

C++标准模板库规范每次插入操作都在O（log m)时间内完成，而遍历集合则需要O(m)时间，所以每次查找并插入一个元素的时间是O(mlog m).
一些随机数的库函数：(以下来自百度百科）
C库函数 rand():rand()函数是产生随机数的一个随机函数。C语言里还有srand()函数等。
　　(1)使用该函数首先应在开头包含头文件stdlib.h

　　#include<stdlib.h>

　　(2)在标准的C库中函数rand()可以生成0~RAND_MAX之间的一个随机数，其中RAND_MAX是stdlib.h 中定义的一个整数，它与系统有关。

　　(3)rand()函数没有输入参数，直接通过表达式rand()来引用；例如可以用下面的语句来打印两个随机数：

　　printf("Random numbers are: %i%i\n",rand(),rand());

　　(4)因为rand()函数是按指定的顺序来产生整数，因此每次执行上面的语句都打印相同的两个值，所以说C语言的随机并不是真正意义上的随机，有时候也叫伪随机数。

　　(5)为了使程序在每次执行时都能生成一个新序列的随机值，我们通常通过为随机数生成器提供一粒新的随机种子。函数 srand()(来自stdlib.h)可以为随机数生成器播散种子。只要种子不同rand()函数就会产生不同的随机数序列。srand()称为随机数生成器的初始化器。

rand()产生伪随机数，srand函数提供种子，种子不同产生的随机数序列也不同，所以通常先调用srand函数 time(0)返回的是系统的时间（从1970.1.1午夜算起），单位：秒，种子不同当然产生的随机数相同几率就很小了。

unsigned int seed;

srand(seed);// 我自己常这样写： srand((unsigned int) time(NULL));

rand();//以这三条语句为基础，如果seed = time(0) 的话，每次种子不同，就可以产生随机数了。

注意一点：

　　RAND_MAX是VC中stdlib.h中宏定义的一个字符常量：

　　#define RAND_MAX 0x7FFF

　　其值最小为32767(2^15 －1, 即0x7FFF-1 ),最大为2147483647，

　　通常在产生随机小数时可以使用RAND_MAX。

以上是随机数问题的基础知识。下面讨论几种方法。

 

题目：给定n个数，存放在数组中，抽取其中的m个数输出，要求每个数被选中的概率相等。

设数组为 a[n]

输出a[0]  的概率为： m/n;

输出a[1]  的概率为: m/n  * (m-1)/(n-1) + (1-m/n)  *  m/(n-1) = m/n;  其中m/n为算则a[0]的概率,（1-m/n)为不选择a[0]的概率，(m-1)/(n-1) 和  m/(n-1)分别表示对于a[0]的两种情况中选择a[1] 的概率，最后a[1]被选择的总概率为m/n.

以此类推。

以上证明来自概率论的条件概率知识，很容易理解的。

 

解法一：

i=0：rad = rand(), 如果rad%（n-i）=rad%n<m，则输出a[i]，另m=m-1; 如果 如果rad%n>=m，则不输出a[i], 从剩余的n-1个数中选出m个随机数

i=1：rad= rand(), 如果rad%(n-i)=rad%(n-1) <m，则输出a[i]，另m=m-1;如果 如果rad%n>=m，则不输出a[i], 从剩余的n-1个数中选出m个随机数

以此类推。这种方法到底正确不，可以考虑一个极限的情况，就是前 n-m 个数都没输出，就剩最后的m个数，理论上讲着m个数就必须全部输出才正确。

到数第m个数时为

i= n-(m-1) = n-m+1：rad%(n-i) = rad% (n-(n-m+1)=rad%(m-1),这个等式的最后结果肯定属于[0,m-1]区间内，该区间内的所有数都小于m，所以a[i] 肯定输出，最后另M=m-1了，M表示要输出的剩余数的个数；  

这就是 i 指向a[n]中倒数第m个数的情况，i=i+1,后，i 指向 a[n] 中的倒数m-1个数, 而上面已经输出一个数了，m已经减掉1了，所以就变成了， i 指向 a[n] 中的倒数m-1个数， 需要输出的数为M=m-1个。 又回到了刚才的状态。

 

重复以上过程，可知，对于假设的极限情况，就是前 n-m 个数都没输出，剩余的m个数会全部输出的！OK啦！！

 

代码：

void rad_m_from_n(int m, int n){        for(i=0; i<n; i++)        {               if(rand() %(n-i) <m)               {                       cout<<a[i]<<endl;                       m--;               }        }}

 

解法二：

将原始数组打乱，然后将数组的前m个数输出。

打乱的方法就是对于每一个a[i] ，从a[i] ~ a[n-1]中随机挑选一个a[j]，交换a[i] a[j] 的值，由于只输出前m个，所以执行m次循环就可以了。

void rad_m_from_n2(int m, int n){        int i,j;        for(i=0; i<m; i++)        {               j = rand(i,n-1);//从区间[i],n-1]内随机抽取一个数，函数实现在下面有讲解               int t = a[i];               a[i] = a[j];               a[j] = t;        }        //sort(a,m)//如果需要按顺序输出的话，就将数组的前m个数排序        for(i=0; i<m ;i++)               cout << a[i]<<endl;} 

题目变形

变形一：《编程珠玑》第12章中的习题，rand()通常返回约15个随机位，使用该函数实现函数bigrand()和randint(l,u),要求前者至少返回30个随即位，后者返回[l,u]范围内的一个随机整数。

先来分析bigrand()：初始是15位，现在是30位，自然想到了倍数的关系，由于2^30 = 2^15 * 2^15 ，可见bigrand()的返回值最大应当是RAND_MAX *RAND_MAX 了。答案最后为

int bigrand(){       return RAND_MAX*rand() + rand();}

 

金子分析：这个至少30个随机位，说实话我还没有搞懂，应该是最大值至少为30bits表示的最大数吧，如果按照答案的办法，产生的随即数集中在(2^15)~(2^30 -1)吧，确切的边界我没有比较，当然前提是rand()不等于0，到底经过随机后rand()会不会结果为0，我没实验过，上述的办法导致 1 ~ (2^15 -1) 无法产生阿。

我能想到的一种改进方法是 RAND_MAX*(rand() %2）＋rand(),利用第一个rand()产生的数的奇偶性来指定输出前半段还是后半段的数。

 

randint 就好实现多了

int randint (int l,int u){     return l + bigrand() % ( u-l + 1);//注意边界不要弄错了。边界应该理解为u - (l -1).}

 

变形二：（百度的一道题目）

为了分析用户的行为，系统往往需要存储用户的一些query，但是因为query非常多，所以系统不能够存下每一条。假设我们的系统每天只能够存储m个query，现在需要设计一个算法，对用户时时请求的query进行随机选择m个，请给出一个方案，使得每一个query被抽中的概率尽量相等，也请附加相应的分析。需要注意的是，不到最后一刻你并不知道用户的总请求量是多少。

 

金子分析：本题需要一个假设，假设每天query的总数为n，题目就变成了n个数，随机抽取m个数的问题，但是因为题目不是将数存储在数组中，而是将抽取的数存放在a[m]中，所以具体实现如下：

1）先将每天的前m个query存放在数组a[m]中。

2）

for（i=m; i<n; i++)    ｛          r = rand() % i; //随机［0，i]           if (r>=0 && r <m)          {                a[r] = a[i];           }      }     

3) 验证每个query被抽中的概率是否相等。

    首先看a[n-1]，它被抽中的概率是 m/n;

     再看a[n-2], 随机到[0,m-1]的概率为 m/(n-1),要是它最后存在数组中的前m个，要保证对于a[n-1]时，获得的随机数不能与a[n-2]时的随机数相等，这样a[n-1]的随机数有 (n-1)种选择，则a[n-2]最后存在a[0...m-1]的概率为 m/(n-1)  *   (n-1)/n = m/n;

    以此类推，对于a[m,...,n-1]来说，被抽中的概率相等，且都为 m/n.

    

    最后我们在看已经放到数组中的前m个query, 对于a[0]， 要想使a[0]不被替换，则从i=m 开始，一直到i=n-1，每个元素的随机数都不能为0，

    则 i=m时，随机数不为0的概率为， m/(m+1)

        i = m+1,   为(m+1)/(m+2).

        ......

        i = n-1时，为 (n-1)/n.

       最后，a[0]不被替换的概率为m/(m+1)  * (m+1)/(m+2)   * (m+2)/(m+3)*   ...... * (n-1)/n  = m/n;也就是说，a[0]不被替换，即被抽中的概率是 m/n.

     以上方法得证！