最近公共祖先算法（LCA）

发现网上对此算法真是多之又多，看了几个小时才算看懂。

 

写下我的理解思路，首先，LCA要用到并查集和深度优先搜索，其中并查集用来查找和合并各个节点集合，深度优先搜索用了搜索问题节点是否在同一个集合中。其实就是递归。（1）：其中递的过程：首先算法从根开始，对每一棵子树进行深度优先搜索，访问根时，将创建由根结点构建的集合，然后把根节点的祖先设为自身，然后遍历该节点的每个子节点，也就是该节点的其他子树，如果子树是多层就选子节点重复上述过程，直到叶子节点。（2）归的过程：从叶子节点开始，找到其父节点，然后和父节点的集合合并，并把其祖先设为父节点，直到归到根节点。注意，在这过程中要判断问题节点是否在同一集合中，比如节点u，节点v，如果v在集合u中，那么他们最近公共祖先就应该是u，如果v不在u中，则遍历v时进行判断，自然就是v的最近祖先是v和u的最近公共祖先。

 

1.这个算法基于并查集和深度优先搜索。算法从根开始，对每一棵子树进行深度优先搜索，访问根时，将创建由根结点构建的集合，然后对以他的孩子结点为根的子树进行搜索，使对于 u， v 属于其某一棵子树的 LCA 询问完成。这时将其所有子树结点与根结点合并为一个集合。 对于属于这个集合的结点 u, v 其 LCA 必定是根结点。

2对于最近公共祖先问题，我们先来看这样一个性质，当两个节点（u，v）的最近公共祖先是x时，那么我们可以确定的说，当进行后序遍历的时候，必然先访问完x的所有子树，然后才会返回到x所在的节点。这个性质就是我们使用Tarjan算法解决最近公共祖先问题的核心思想。

      同时我们会想这个怎么能够保证是最近的公共祖先呢？我们这样看，因为我们是逐渐向上回溯的，所以我们每次访问完某个节点x的一棵子树，我们就将该子树所有节点放进该节点x所在的集合，并且我们设置这个集合所有元素的祖先是该节点x。那么到我们完成对一个节点的所有子树的访问时，我们将这个节点标记为已经找到了祖先的点。

       这个时候就体现了Tarjan采用离线的方式解决最近公共祖先的问题特点所在了，所以这个时候就体现了这一点。假设我们刚刚已经完成访问的节点是a，那么我们看与其一同被询问的另外一个点b是否已经被访问过了，若已经被访问过了，那么这个时候最近公共祖先必然是b所在集合对应的祖先c，因为我们对a的访问就是从最近公共祖先c转过来的，并且在从c的子树b转向a的时候，我们已经将b的祖先置为了c，同时这个c也是a的祖先，那么c必然是a、b的最近公共祖先。

       对于一棵子树所有节点，祖先都是该子树的根节点，所以我们在回溯的时候，时常要更新整个子树的祖先，为了方便处理，我们使用并查集维护一个集合的祖先。总的时间复杂度是O(n+q)的，因为dfs是O(n)的，然后对于询问的处理大概就是O(q)的。

从网上找了这样一个容易理解算法的代码：http://blog.csdn.net/lixiandejian/article/details/6661074

<pre class="cpp" name="code">#include<iostream>  #include<vector>  using namespace std;  const int MAX=17;  int f[MAX];//每个节点所属集合？int r[MAX];//r是rank（秩） 合并int indegree[MAX];//保存每个节点的入度  int visit[MAX];//只有0和1，表示某节点id是否已处理完毕vector<int> tree[MAX],Qes[MAX];  //树，查询int ancestor[MAX];//祖先集合void init(int n)  {  for(int i=1;i<=n;i++)  {  r[i]=1;//每个节点的初始秩为1，秩的初始化也很重要，不初始化也可以，省去了计算每个集合秩的开销f[i]=i;//每个节点的父节点初始为自身？indegree[i]=0;  visit[i]=0;  ancestor[i]=0;//祖先为0tree[i].clear();  Qes[i].clear();  }  }  int find(int n)//查找n节点所在的集合{  if(f[n]==n)  return n;  else  f[n]=find(f[n]);  return f[n];  }//查找函数，并压缩路径  int Union(int x,int y)  {  int a=find(x);  int b=find(y);  if(a==b)  return 0;  //相等的话,x向y合并  else if (r[a] < r[b]){  f[a] = b;r[b] += r[a];//小的秩合并向大的秩}  else  if(r[a] == r[b])//两秩相等，合并到左边的秩{  f[b] = a;r[a] += r[b]; }else{f[b] = a;r[a] += r[b];}return 1;  }//合并函数，如果属于同一分支则返回0，成功合并返回1  void LCA(int u)  {  ancestor[u]=u;  int size = tree[u].size();  for(int i=0;i<size;i++)  {  LCA(tree[u][i]);  Union(u,tree[u][i]);  ancestor[find(u)]=u;//让u的父节点祖先为u，因为是回溯操作，一定能保证集合的祖先是最近祖先}  visit[u]=1;  size = Qes[u].size();for(int i=0;i<size;i++)  {  //如果已经访问了问题节点,就可以返回结果了.  if(visit[Qes[u][i]]==1)  {  cout<<ancestor[find(Qes[u][i])]<<endl;//如果这个点处理过，那么这个祖先就是共同祖先//return;  continue;}  }  }  int main()  {  int n = 16;  init(n);//数的总节点数int s,t;  //先构造树tree[8].push_back(5);indegree[5]++;tree[8].push_back(4);indegree[4]++;tree[8].push_back(1);indegree[1]++;//对节点ID为8的节点添加3个子节点，相应的子节点增加入度tree[5].push_back(9);indegree[9]++;tree[4].push_back(6);indegree[6]++;tree[4].push_back(10);indegree[10]++;tree[1].push_back(14);indegree[14]++;tree[1].push_back(13);indegree[13]++;tree[6].push_back(15);indegree[15]++;tree[6].push_back(7);indegree[7]++;tree[10].push_back(11);indegree[11]++;tree[10].push_back(16);indegree[16]++;tree[10].push_back(2);indegree[2]++;tree[16].push_back(3);indegree[3]++;tree[16].push_back(12);indegree[12]++;//输入查询cin>>s>>t;  //相当于询问两次，如果t在s的左边，那么在遍历完s时将无法得出结果  Qes[s].push_back(t);Qes[t].push_back(s);for(int i=1;i<=n;i++)  {  //寻找根节点  if(indegree[i]==0)//根节点的入度为0{  LCA(i);  break;  }  }  return 0;  }  </pre><br><br><p></p><p></p>算法步骤：1 由跟节点开始，进行深度优先遍历，遍历到叶子节点，置其对应的visit[i] = 1; 2 将父节点与子节点进行合并（将他们置于同一个集合，详细看union代码），然后，将集合的祖先置为当前节点。（要注意回溯的过程，一定是保证高层次的） 3 询问查询，即qes[u][i]，u是查询节点之一（正好是当前节点），i是另一个查询节点，如果i此时已被处理完毕，说明i在u的左边，那么i所在集合（并不是像有些文章说的i的父节点，这概念不正确）的祖先一定u，i的最近共同祖先（如果u，i在同一子树，则很好理解，如果u，i在不同子树，那么i所在集合的祖先也是u的祖先（注意回溯，上升，下降））；如果i此时未被处理，说明i在u的右边，对于u，i的询问只能跳过，但是对i，u的询问可以处理。 这个是两个节点共同祖先的查询，多个的话就用前两个的查询结果与下一个组成一个查询，依次类推。<p></p>参考问题链接:http://poj.org/problem?id=1330参考代码链接:http://kmplayer.iteye.com/blog/604518 (此代码结果是正确的，但代码的一些概念不太正确)参考知识链接：http://my.chinaunix.net/space.php?uid=1721137&do=blog&id=181005 ； http://hi.baidu.com/%B1%B1%BE%A9%CE%D2%B0%AE%C4%E3/blog/item/aaa01dc630e1940a9d163d0b.html感谢相关文章作者！<pre></pre>