“01背包”最优方案总数分析及实现
来源:互联网 发布:网络女主播直播吃饭 编辑:程序博客网 时间:2024/05/31 19:27
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本人博文<<背包问题——“01背包”详解及实现(包含背包中具体物品的求解)>>中已谈过01背包,这里再重写一下01背包的动态规划状态及状态方程:
设背包容量为V,一共N件物品,每件物品体积为C[i],每件物品的价值为W[i]
1) 子问题定义:F[i][j]表示前i件物品中选取若干件物品放入剩余空间为j的背包中所能得到的最大价值。
2) 根据第i件物品放或不放进行决策
(1-1)
最优方案总数这里指物品总价值最大的方案数。
我们设G[i][j]代表F[i][j]的方案总数,那么最总结果应该是G[N][V]。我们初始化G[][]为1,因为对每个F[i][j]至少应该有一种方案,即前i件物品中选取若干件物品放入剩余空间为j的背包使其价值最大的方案数至少为1,因为F[i][j]一定存在。
下面开始分析怎么求G[i][j]。对于01背包来说:
如果F[i][j]=F[i-1][j]且F[i][j]!=F[i-1][j-C[i]]+W[i]说明在状态[i][j]时只有前i-1件物品的放入才会使价值最大,所以第i件物品不放入,那么到状态[i][j]的方案数应该等于[i-1][j]状态的方案数即G[i][j]=G[i-1][j];
如果F[i][j]=F[i-1][j-C[i]]+W[i] 且F[i][j]!=F[i-1][j]说明在状态[i][j]时只有第i件物品的加入才会使总价值最大,那么方案数应该等于[i-1][j-C[i]]的方案数,即G[i][j]=G[i-1][j-C[i]];
如果F[i][j]=F[i-1][j-C[i]]+W[i] 且F[i][j]=F[i-1][j]则说明即可以通过状态[i-1][j]在不加入第i件物品情况下到达状态[i][j],又可以通过状态[i-1][j-C[i]]在加入第i件物品的情况下到达状态[i][j],并且这两种情况都使得价值最大且这两种情况是互斥的,所以方案总数为G[i][j]=G[i-1][j-C[i]]+ G[i-1][j]。
经过上面的分析,得出下述伪代码:
[cpp] view plaincopyprint?
- F[0][] ← 0
- F[][0] ← 0
- G[][ ] ← 1
- for i ← 1 to N
- do for j ← 1 to V
- F[i][j] ← F[i-1][j]
- G[i][j] ← G[i-1][j]
- if (j >= C[i])
- if (F[i][j] < F[i-1][j-C[i]]+W[i])
- then F[i][j] ← F[i-1][j-C[i]]+W[i]
- G[i][j] ← G[i-1][j-C[i]]
- else if (F[i][j] = F[i-1][j-C[i]]+W[i])
- then G[i][j] ← G[i-1][j]+G[i-1][j-C[i]]
- return F[N][V] and G[N][V]
F[0][] ← 0 F[][0] ← 0 G[][ ] ← 1 for i ← 1 to N do for j ← 1 to V F[i][j] ← F[i-1][j] G[i][j] ← G[i-1][j] if (j >= C[i]) if (F[i][j] < F[i-1][j-C[i]]+W[i]) then F[i][j] ← F[i-1][j-C[i]]+W[i] G[i][j] ← G[i-1][j-C[i]] else if (F[i][j] = F[i-1][j-C[i]]+W[i]) then G[i][j] ← G[i-1][j]+G[i-1][j-C[i]] return F[N][V] and G[N][V]
上述方法在保存状态F[][]及G[][]时需要O(NV)的空间复杂度,下面我们对空间复制度进行优化。
压缩空间复杂度为O(V)
F[i][j]与G[i][j]只分别与F[i-1][]和G[i-1][]的状态有关,所以我们可以用两个一维数组F[]和G[]来替换二维数组F[][]和G[][]。具体思想请看博文
<<背包问题——“01背包”详解及实现(包含背包中具体物品的求解)>>
下面直接给出伪代码:
[cpp] view plaincopyprint?
- F[] ← 0
- G[] ← 1
- for i ← 1 to N
- do for j ← V to C[i]
- if (F[j] < F[j-C[i]]+W[i])
- then F[j] ← F[j-C[i]]+W[i]
- G[j] ← G[j-C[i]]
- else if (F[j] = F[j-C[i]]+W[i])
- then G[j] ← G[j]+G[j-C[i]]
- return F[V] and G[V]
F[] ← 0 G[] ← 1 for i ← 1 to N do for j ← V to C[i] if (F[j] < F[j-C[i]]+W[i]) then F[j] ← F[j-C[i]]+W[i] G[j] ← G[j-C[i]] else if (F[j] = F[j-C[i]]+W[i]) then G[j] ← G[j]+G[j-C[i]] return F[V] and G[V]
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