回溯算法-》应用

回溯是一种系统地搜索问题解答的方法。为了实现回溯，首先需要为问题定义一个解的空间。而问题的解集合一般被组织成树的形式（一般解所构成树为逻辑树不用去用代码构建一个解集合构成的树）。然后以深度搜索的方式去遍历解集合，从而得到问题的解。可以使用限界函数来避免 对不可能求出解子集合的遍历来优化回溯方法。

       回溯方法求解的步骤：

1：定义一个解的空间，它包含问题的解。

2：以适于搜索的方式组织该空间，一般以一维数组的形式组织成逻辑上的解空间树（主要是满二叉树和排列数的形式）。

3：用深度优先法搜索该空间，利用限界函数避免移动到不可能产生解的子空间。

       回溯算法可应用在货箱装船、背包、最大完备子图、旅行商、电路排列问题等，一般用来解决从解集合中对最优问题的求解。

       在应用中由于候选解的数量都很大（指数级甚至大数的阶乘级），而回溯法，在求解时间上大大减少。但其时间和空间复杂对还是相当奢侈的，在求解大规模问题中不是拥有“高富帅”配置的计算机玩的起的。对这些NP问题的求解想得到多项式时间内“秒杀”，现在还是一种奢望。大都在指数级时间复杂度内。但在小规模问题中不失为一种好方法。回溯法的空间复杂度O（从开始节点起最长路径长度）。

       举两个例子观摩一下，回溯法是怎么把答案搜出来的。

       一个例子是货箱装船问题，它的解空间是以一个一维数组来构建一个逻辑上的满二叉树。

       问题场景：n 个货箱，一个货船的载重量为c，wi是货箱i的重量，且所有货物之和大于c，求货船最多装多种的货物。

     假设n=4；w=[8,6,2,3],c=12;

     按回溯法来分析问题，

     1：构建解空间，有n个货箱每个货箱都有装上船和不装船两种可能，所以n个货箱就有2的n次方个解。这些解可组织成满二叉树的形式。如图

边权值为1表示货物被装上船，0便是货物没有装上船。上面的二叉树可以表示所有的解也就是解空间。

第i层的边和第i个货物对应，如果经过第i层，选择的边权值为1则第i个货物被装上船。从跟节点深度遍历，每获得一个可行解，就与上一次获得的解比较比上次的大则更新最优解。遍历结束时就获得了最后的解。

代码如下：    

template<class T>void MaxLoading(T w[],T c,int n);template<class T>class Loading{friend void MaxLoading(T w[],T c,int n);public:Loading(T w1[],T c1,int n1):w(w1),c(c1),n(n1),cw(T()),bestw(T())        {} private:void maxLoading(int i);void maxLoading1(int i);int n;//货物数量T* w;//货物重量的数组T r;//剩余货物重量int* x;//记录当前搜索路径下的装载情况int* bestx;//记录最优装载的货物编号T c;//货箱的容量T cw;//当前重量T bestw;//最优重量};template<class T>void Loading<T>::maxLoading(int i){if(i>n){if(cw>bestw)bestw=cw;return;}if(cw+w[i]<c)//装载第i个货物的情况{cw+=w[i];maxLoading(i+1);cw-=w[i];}maxLoading(i+1);//不装在第i个货物的情况}template<class T>void Loading<T>::maxLoading1(int i){if(i>n){for(int j=0;j<=n;j++)bestx[j]=x[j];bestw=cw;return ;}r-=w[i];if(cw+w[i]<=c){cw+=w[i];maxLoading1(i+1);x[i]=1;cw-=w[i];}if(cw+r>bestw){maxLoading1(i+1);x[i]=0;}r+=w[i];}template<class T>void MaxLoading(T w[],T c,int n){Loading<T> X(w,c,n);for(int i=1;i<=n;i++)X.r+=w[i];X.maxLoading(1);X.maxloading1(1);}

 maxLoading和maxLoading1的区别加了限制条件，并可以获得装载货物的编号。

（有错误还望指正）