算法设计与分析课程Part1笔记(3)

3. 线性时间下的选择问题和图基本

3.1 线性时间下的选择

   问题描述：对于包含n个元素的数字A，找出其中的第i小(或者大)的元素(例如n为奇数时，i=(n+1)/2；n为偶数时，i=n/2)。

  Random_Selection(array A, length n, oder i):

   -- if n=1 return A[1]

   --choose pivot p from A (choose randomly)

   --partition A round P, let j= new index of p

   --ifj==i return p

  --if j>i return Random_Selction(1^st part, j-1,i)

  --if j<i return Random_Selection(2^nd part, n-j, i-j)

3.2 算法分析

  

3.3 图的基本

   图简单来说是有点和边构成，通常用G表示，G=(V, E)，其中V是顶点集合，E是边集合。一般用n代表G的节点数目，m代表G的边数。

   图的割集指的是：将图的顶点分为两个非空集合A和B，那么对于端点分别在A和B中即连接两个断点集合的边数为c，A和B可以称为图G的一个割集。

   其中使得c最小的割集，为G的最小割(minimumcut)。一个包含n个节点的图G其割集有2ⁿ个。

   图的两种基本表示：邻接矩阵和链接表，一个方便随机存取，一个节省空间，对于sparse的图(即图密度m/n比较小)来说，链接表虽然不利于随机存取，但是很节省空间。

3.4 最小割问题

  Random_Construction_Algorithm(Karger, early 90s):

   -- while there more than 2 vertices:

    --pick a remaining edge (u,v) uniformly at random

    --merge u and v into a single vertex

    --remove  self-loops

    最后只剩下了两个顶点，两个顶点之间的边数c是一个割集的cross edges的数目，但是不一定是最小的。