皮克定理 poj2954

一张方格纸上，上面画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等，这样两组平行线的交点，就是所谓格点。

  

a=39,b=14,s=45

如果取一个格点做原点O，如图1，取通过这个格点的横向和纵向两直线分别做横坐标轴OX和纵坐标轴OY，并取原来方格边长做单位长，建立一个坐标系。这时前面所说的格点，显然就是纵横两坐标都是整数的那些点。如图1中的O、P、Q、M、N都是格点。由于这个缘故，我们又叫格点为整点。

　　一个多边形的顶点如果全是格点，这多边形就叫做格点多边形。有趣的是，这种格点多边形的面积计算起来很方便，只要数一下图形边线上的点的数目及图内的点的数目，就可用公式算出。

　　这个公式是皮克(Pick)在1899年给出的，被称为“皮克定理”，这是一个实用而有趣的定理。

//一个计算点阵中顶点在格点上的多边形面积公式：S=a+b÷2-1，其中a表示多边形内部的点数，b表示多边形边界上的点数，s表示多边形的面积。

#include<iostream>#include<cmath>using namespace std;struct point{   int x,y;};int gcd(int m,int n){if(n==0) return m;return gcd(n,m%n);}int bian(point A,point B)//算出点A和点B组成的线段上的点{return gcd(abs(A.x-B.x),abs(A.y-B.y))+1;}int f(point a[],int n)//求n边形的面积{int i,ans=0;a[n]=a[0];for(i=0;i<n;i++)ans+=(a[i].x*a[i+1].y-a[i].y*a[i+1].x);if(ans<0) ans=-ans;return ans;}int main(){  int s,ans;   point a[4];   while(cin>>a[0].x>>a[0].y>>a[1].x>>a[1].y>>a[2].x>>a[2].y)    {    if(!(a[0].x||a[0].y||a[1].x||a[1].y||a[2].x||a[2].y))      break;      s=bian(a[0],a[1])+bian(a[1],a[2])+bian(a[2],a[0])-3;//-3是因为重复算了3个顶点      //cout<<"s="<<s<<endl;      ans=f(a,3);      //cout<<"ans="<<ans<<endl;      cout<<(ans-s)/2+1<<endl;    }return 0;}