并查集专题学习

在一些应用问题中，需要将n个不同的元素划分成一组不相交的集合。开始时，每个元素自成一个单元素集合，然后按一定顺序将属于同一组元素的集合合并。其间要反复用到查询某个元素属于哪个集合的运算。适合于描述这类问题的抽象数据类型称为并查集。——摘自《算法设计与分析》（王晓东）

一、数据操作

它常是一种树形结构，一般有两种操作：

合并两个不相交集合

判断两个元素是否属于同一集合

这么说有点抽象，我们看一下图(需要注意的是，一开始我们假设元素都是分别属于一个独立的集合里的)：

   （1） 合并两个不相交集合 操作很简单：先设置一个数组Father[x]，表示x的“父亲”的编号。 那么，合并两个不相交集合的方法就是，找到其中一个集合最父亲的父亲（也就是最久远的祖先），将另外一个集合的最久远的祖先的父亲指向它。

 

 

inline void union(int x, int y){    // get_father 是下面将讲到的操作    father[get_father(x)]= get_father(y); //指向最祖先的祖先}

（2） 判断两个元素是否属于同一集合 仍然使用上面的数组。则本操作即可转换为寻找两个元素的最久远祖先是否相同。可以采用递归实现。

inline char is_same(int x, int y){    return get_father(x) == get_father(y);}

二、算法优化

但是需要注意的是，并查集我们常看到的是一种路径压缩后的并查集。

（1）路径压缩

刚才我们说过，寻找祖先时采用递归，但是一旦元素一多起来，或退化成一条链，每次GetFather都将会使用O（n）的复杂度，这显然不是我们想要的。

对此，我们必须要进行路径压缩，即我们找到最久远的祖先时“顺便”把它的子孙直接连接到它上面。这就是路径压缩了。使用路径压缩的代码如下，时间复杂度基本可以认为是常数的。

void init(void){    int i;    for (i=0; i<MAX; i++)        father[i] = i;}int get_father(int v){    if (father[v] != v)        father[v] = get_father(father[v]);    return father[v];}

（2）rank合并

合并时将元素少的集合合并到元素多的集合中。

// 初始化static int rank[MAX] = { 0 }; char judge(int x, int y){    int fx, fy;    if ((fx = get_father(x)) == (fy = get_father(y)))        return 1;     if (rank[fx] > rank[fy])        father[fy] = fx;    else {        father[fx] = fy;        if (rank[fx] == rank[fy])            rank[fy]++;    }    return 0;}

三、时间复杂度

O(n*α(n))

其中α(x),对于x=宇宙中原子数之和,α(x)不大于4

事实上，路经压缩后的并查集的复杂度是一个很小的常数。

四、例题及其源代码（对不住，本人小菜，只能选些标准题）

1.HDU 1213 简单并查集

原题地址：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1213

本人解题报告：http://blog.csdn.net/fsafs168/article/details/7801042

2.HDU 1232  中下并查集

原题地址：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1232

本人解题报告：http://blog.csdn.net/fsafs168/article/details/7801090

3.HDU 1863 中等并查集

原题地址：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1863

本人解题报告：http://blog.csdn.net/fsafs168/article/details/7801107

4.HDU 1875 中等并查集

原题地址：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1875

本人解题报告：http://blog.csdn.net/fsafs168/article/details/7853377