关于相交线产生区域问题和错误排序

  今天在杭电上做题目时碰到一题说求N条折线最多能分割多少个区域的问题。花了一个小时，把折线和直线的情况都推了一边，算是做个笔记吧

直线情况  ：  当一条直线时 ，有2个区域。两条直线，四个区域，此时有1个交点，三条直线要有3个交点才能产生最多区域。

我们可以发现，每增加一条直线，交点数目增加 n-1个，n-1即为第n条直线与前N-1条直线都有交点。而n-1个交点会多增加N-2个区域，同时还有两个射线，增加两个，即我们可以得到 A[n]=A[n-1]+n获得递推公式，然后可以解得A[n]=(n*n+n+2)/2;

折线情况：当有一条折线时，有2个区域，两条折线时，有7个区域；

  

每增加一条折线，交点个数增加4n-4，设交点个数为B[n]；B[n]=B[n-1]+4*n-4;4*n-4是怎么来的呢？它表示的是n-1条折线共有2（n-1）条射线，增加一条折线，折线的每边都与这2（n-1）条射线有交点，则即为4*n-4;再联系上面直线情况，则增加的区域数目为4*n-6;两条射线增加2个区域，还有就是顶点增加一个区域，最终得到递推公式为

A[n]=A[n-1]+4*n-3，根据递推公式，A[n]=2*n*n-n+1;

     错误排序。说的是有N个卡片，写着N个不同人的名字，让这N个人都拿一张，问每个人拿到的卡片上名字写的都不是自己共有多少种情况或概率；

这道题我一开始想着用循环和递归，将一个大小为N 按升序排列的数组进行操作，就比如A[0]我把1——N-1之间的数分别与它交换，然后同样处理后面的数字，研究半天也没研究出来，后来就果断换方法了。研究N-1和N的关系，设错误排序的总和为A[N]；A[N]=A[N-1]*（N-1）+A[N-2]*（N-1）；A[N-1]*（N-1）表示的是：当前N-1个已经是完全错误排序，那么我增加一个，使得达到N个，第N个可以与前N-1个任意一个进行交换顺序，使得N个都完全错误排序，A[N-2]*（N-1）表示：当前N-1个只有一个拿着自己名字的卡片，这个人我们是随便从N-1个人中挑选出来的，然后将这个人与第N 个人交换，使得N个达到完全错误排序，如果前N-1个人中，超过1个人拿到写着自己名字的卡片，那么，N个人无法完成错误排序，即A[N]=A[N-1]*（N-1）+A[N-2]*（N-1）；