贪心算法 - 最小生成树 Prim算法

一个无向带权图G=(V,E)，其中n个顶点Vertex，以及连接各个顶点之间的边Edge，可能有些顶点之间没有边，每条边上的权值都是非负值。

生成树：

G的一个子图，包含了所有的Vertex，和部分的Edge。

最小生成树：

所有的生成树中，各条Edge上的权值总和最小的一个。

例子：设计通信网络时，各个城市之间铺设线路，最经济的方案。

最小生成树性质：

G=(V,E)，

S是V的真子集，

如果u在S中，v在V-S中，且(u,v)是图的一条边，称之为特殊边，且(u,v)是所有特殊边中最短的，

那么，(u,v)这条边一定在最小生成树中。

Prim算法：

任意指定一个顶点作为起始点，放在S中。

每一步将最短的特殊边放入S中，需要n-1步，即可把所有的其他的点放入S中。算法结束。

对于这个图，Prim算法的过程为：

代码实现如下：

/** * 最小生成树 minimum spanning tree * @author xuefeng * */public class MST {public static final int NOT_REACHED = -1;/** * @param E n*n */public static void prim(int[][] E) {int n = E.length;boolean[] S = new boolean[n];int[] dist = new int[n];int[] prev = new int[n];S[0] = true; // 选取顶点1作为起始点for (int i = 1; i < n; i++) {dist[i] = E[0][i];prev[i] = 0;S[i] = false;}int min = -1, minV = -1;for (int i = 1; i < n; i++) {min = -1;minV = -1;// 选择离S中顶点最近的点for (int j = 1; j < n; j++) {if (!S[j] && dist[j] != -1 && (min == -1 || dist[j] < min)) {min = dist[j];minV = j;}}if (minV == -1)continue;S[minV] = true;// S中多了个点，需要改变S离外面的点的最短距离for (int j = 1; j < n; j++) {if (!S[j] && isReachable(E, minV, j)&& (dist[j] == -1 || E[minV][j] < dist[j])) {dist[j] = E[minV][j];prev[j] = minV;}}// 输出测试结果for (int j = 0; j < n; j++) {if (S[j]) {System.out.print((j + 1) + " ");}}System.out.println();}}private static boolean isReachable(int[][] E, int v1, int v2) {return E[v1][v2] != NOT_REACHED;}public static void main(String[] args) {int[][] E = { { -1, 6, 1, 5, -1, -1 }, { 6, -1, 5, -1, 3, -1 },{ 1, 5, -1, 5, 6, 4 }, { 5, -1, 5, -1, -1, 2 },{ -1, 3, 6, -1, -1, 6 }, { -1, -1, 4, 2, 6, -1 } };prim(E);}}

输出为：

1 3 1 3 6 1 3 4 6 1 2 3 4 6 1 2 3 4 5 6 

可由prev数组构造出最小生成树。

算法复杂度为O(n^2)