匈牙利算法求最大匹配

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 研究了几个小时，终于明白了。说穿了，就是你从二分图中找出一条路径来，让路径的起点和终点都是还没有匹配过的点，并且路径经过的连线是一条没被匹配、一条已经匹配过，再下一条又没匹配这样交替地出现。找到这样的路径后，显然路径里没被匹配的连线比已经匹配了的连线多一条，于是修改匹配图，把路径里所有匹配过的连线去掉匹配关系，把没有匹配的连线变成匹配的，这样匹配数就比原来多1个。不断执行上述操作，直到找不到这样的路径为止。

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二分图最大匹配的König定理及其证明

    本文将是这一系列里最短的一篇，因为我只打算把König定理证了，其它的废话一概没有。
    以下五个问题我可能会在以后的文章里说，如果你现在很想知道的话，网上去找找答案：
    1. 什么是二分图；
    2. 什么是二分图的匹配；
    3. 什么是匈牙利算法；(http://www.matrix67.com/blog/article.asp?id=41)
    4. König定理证到了有什么用；
    5. 为什么o上面有两个点。

    König定理是一个二分图中很重要的定理，它的意思是，一个二分图中的最大匹配数等于这个图中的最小点覆盖数。如果你还不知道什么是最小点覆盖，我也在这里说一下：假如选了一个点就相当于覆盖了以它为端点的所有边，你需要选择最少的点来覆盖所有的边。比如，下面这个图中的最大匹配和最小点覆盖已分别用蓝色和红色标注。它们都等于3。这个定理相信大多数人都知道，但是网络上给出的证明并不多见。有一些网上常见的“证明”明显是错误的。因此，我在这里写一下这个定理的证明，希望对大家有所帮助。



    假如我们已经通过匈牙利算法求出了最大匹配（假设它等于M），下面给出的方法可以告诉我们，选哪M个点可以覆盖所有的边。
    匈牙利算法需要我们从右边的某个没有匹配的点，走出一条使得“一条没被匹配、一条已经匹配过，再下一条又没匹配这样交替地出现”的路（交错轨，增广路）。但是，现在我们已经找到了最大匹配，已经不存在这样的路了。换句话说，我们能寻找到很多可能的增广路，但最后都以找不到“终点是还没有匹配过的点”而失败。我们给所有这样的点打上记号：从右边的所有没有匹配过的点出发，按照增广路的“交替出现”的要求可以走到的所有点（最后走出的路径是很多条不完整的增广路）。那么这些点组成了最小覆盖点集：右边所有没有打上记号的点，加上左边已经有记号的点。看图，右图中展示了两条这样的路径，标记了一共6个点（用 “√”表示）。那么，用红色圈起来的三个点就是我们的最小覆盖点集。
    首先，为什么这样得到的点集点的个数恰好有M个呢？答案很简单，因为每个点都是某个匹配边的其中一个端点。如果右边的哪个点是没有匹配过的，那么它早就当成起点被标记了；如果左边的哪个点是没有匹配过的，那就走不到它那里去（否则就找到了一条完整的增广路）。而一个匹配边又不可能左端点是标记了的，同时右端点是没标记的（不然的话右边的点就可以经过这条边到达了）。因此，最后我们圈起来的点与匹配边一一对应。
    其次，为什么这样得到的点集可以覆盖所有的边呢？答案同样简单。不可能存在某一条边，它的左端点是没有标记的，而右端点是有标记的。原因如下：如果这条边不属于我们的匹配边，那么左端点就可以通过这条边到达（从而得到标记）；如果这条边属于我们的匹配边，那么右端点不可能是一条路径的起点，于是它的标记只能是从这条边的左端点过来的（想想匹配的定义），左端点就应该有标记。
    最后，为什么这是最小的点覆盖集呢？这当然是最小的，不可能有比M还小的点覆盖集了，因为要覆盖这M条匹配边至少就需要M个点（再次回到匹配的定义）。
    证完了。

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一、最大匹配——匈牙利算法

/****************************************************二分图匹配（匈牙利算法的DFS实现）INIT：g[][]两边定点划分的情况CALL:res=hungary();输出最大匹配数优点：适于稠密图，DFS找增广路快，实现简洁易于理解时间复杂度:O(VE);****************************************************/const int MAXN=1000;int uN,vN;  //u,v数目int g[MAXN][MAXN];//编号是0~n-1的 int linker[MAXN];bool used[MAXN];bool dfs(int u){    int v;    for(v=0;v<vN;v++)        if(g[u][v]&&!used[v])        {            used[v]=true;            if(linker[v]==-1||dfs(linker[v]))            {                linker[v]=u;                return true;            }            }      return false;  }    int hungary(){    int res=0;    int u;    memset(linker,-1,sizeof(linker));    for(u=0;u<uN;u++)    {        memset(used,0,sizeof(used));        if(dfs(u))  res++;    }     return res;   }

简单例子：

HDU 2063过山车

#include<stdio.h>#include<string.h>const int MAXN=510;int uN,vN;  int g[MAXN][MAXN];int linker[MAXN];bool used[MAXN];bool dfs(int u){    int v;    for(v=1;v<=vN;v++)        if(g[u][v]&&!used[v])        {            used[v]=true;            if(linker[v]==-1||dfs(linker[v]))            {                linker[v]=u;                return true;            }           }     return false; }   int hungary(){    int res=0;    int u;    memset(linker,-1,sizeof(linker));    for(u=1;u<=uN;u++)    {        memset(used,0,sizeof(used));        if(dfs(u))              res++;    }    return res;  } int main(){    int k;    int u,v;    while(scanf("%d",&k),k)    {        scanf("%d%d",&uN,&vN);        memset(g,0,sizeof(g));        while(k--)        {            scanf("%d%d",&u,&v);            g[u][v]=1;        }        printf("%d\n",hungary());      }     return 0; }

例：HDU 1045 Fire Net

#include<stdio.h>  #include<string.h>  #include<iostream>  using namespace std;  int uN,vN;  int g[20][20];  int linker[20];  bool used[20];  char map[5][5];  int mapr[5][5];  int mapl[5][5];  bool dfs(int u)  {      int v;      for(v=1;v<=vN;v++)          if(g[u][v]&&!used[v])          {              used[v]=true;              if(linker[v]==-1||dfs(linker[v]))              {                  linker[v]=u;                  return true;              }             }      return false;    }   int hungary()  {      int res=0;      int u;      memset(linker,-1,sizeof(linker));      for(u=1;u<=uN;u++)      {          memset(used,0,sizeof(used));          if(dfs(u))  res++;      }        return res;  }   int main()  {      int i,j,n;      while(scanf("%d",&n),n)      {          memset(mapl,0,sizeof(mapl));          memset(mapr,0,sizeof(mapr));          memset(g,0,sizeof(g));          for(i=1;i<=n;i++)             for(j=1;j<=n;j++)             {                 cin>>map[i][j];                 if(map[i][j]=='X')                    mapl[i][j]=mapr[i][j]=-1;             }              int p1=0;             uN=0;vN=0;             //给行编号             for(i=1;i<=n;i++)                for(j=1;j<=n;j++)                {                    while(mapr[i][j]==-1&&j<=n)                        j++;                    p1++;                    while(mapr[i][j]!=-1&&j<=n)                    {                        mapr[i][j]=p1;                        if(uN<p1)  uN=p1;                        j++;                    }                   }            int p2=0;            //给列编号            for(j=1;j<=n;j++)               for(i=1;i<=n;i++)               {                   while(mapl[i][j]==-1&&i<=n)                        i++;                    p2++;                    while(mapl[i][j]!=-1&&i<=n)                    {                        mapl[i][j]=p2;                        if(vN<p2)  vN=p2;                        i++;                    }                  }           //建图           for(i=1;i<=n;i++)              for(j=1;j<=n;j++)              {                  if(mapr[i][j]!=-1&&mapl[i][j]!=-1)                    g[mapr[i][j]][mapl[i][j]]=1;              }           printf("%d\n",hungary());                 }      return 0;     }