三分法——求解凸性函数的极值问题

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三分法——求解凸性函数的极值问题

今天多校联合赛第六场，现学了一下三分法，A了1006

  二分法作为分治中最常见的方法，适用于单调函数，逼近求解某点的值。但当函数是凸性函数时，二分法就无法适用，这时三分法就可以“大显身手”～～ 

       如图，类似二分的定义Left和Right，mid = (Left + Right) / 2，midmid = (mid + Right) / 2; 如果mid靠近极值点，则Right = midmid；否则(即midmid靠近极值点)，则Left = mid;
程序模版如下：

double Calc(Type a){    /* 根据题目的意思计算 */}void Solve(void){    double Left, Right;    double mid, midmid;    double mid_value, midmid_value;    Left = MIN; Right = MAX;    while (Left + EPS < Right)    {        mid = (Left + Right) / 2;        midmid = (mid + Right) / 2;        mid_area = Calc(mid);        midmid_area = Calc(midmid);        // 假设求解最大极值.        if (mid_area >= midmid_area) Right = midmid;        else Left = mid;    }　　　printf("%.0lf\n",Calc(Left));}

接下来看几个例题：给出函数，其他的套模板就可以AC
hdu-4355 party all the time (2012 Multi-University Training Contest 6)

函数为：

double Calc(double i){    double S=0.0;    for(int j=0;j<n;j++){        S+=fabs((i-p[j].x)*(i-p[j].x)*(i-p[j].x))*p[j].w;    }    return S;}

zju-3203 Light Bulb (The 6th Zhejiang Provincial Collegiate Programming Contest)

函数为：

double Calc(double x){    return (h*D-H*x)/(D-x)+x;}

hdu-3714 Error Curves (2010 Asia Chengdu Regional Contest)
函数为：

double Calc(double x){    double Max,t;    Max=p[0].a*x*x+p[0].b*x+p[0].c;    for(int i=1;i<n;i++){        t=p[i].a*x*x+p[i].b*x+p[i].c;        Max=max(t,Max);    }    return Max;}

hdu-2438 Turn the corner (2008 Asia Harbin Regional Contest Online)

函数为：

double Calc(double a){    double b,c,d;    b=w/sin(a)+l*cos(a);    c=l*sin(a)+w/cos(a)-x;    d=l*sin(a)+w/cos(a);    return c*b/d;}

这道题单纯的套模板会WA，我们要将分割方向倒置,midmid=(mid+l)/2;从左边取第二个中点。

double l,r,mid,midmid,mid_area,midmid_area;l=0.0,r=pi/2;while(l+eps<r){        mid=(l+r)/2;        midmid=(mid+l)/2;        mid_area=Calc(mid);        midmid_area=Calc(midmid);        if(mid_area>=midmid_area) l=midmid;        else r=mid;}