poj 1601(扩展欧几里德求不定方程的整数解)

欧几里德的原理：（转）http://www.cnblogs.com/void/archive/2011/04/18/2020357.html

扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组p，q使得p * a+q * b = Gcd(p, q) (解一定存在，根据数论中的相关定理)。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。下面是一个使用C++的实现：
int exGcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
if(b == 0)
{
x = 1;
y = 0;
return a;
}
int r = exGcd(b, a % b, x, y);
int t = x;
x = y;
y = t - a / b * y;
return r;
}
把这个实现和Gcd的递归实现相比，发现多了下面的x,y赋值过程，这就是扩展欧几里德算法的精髓。
可以这样思考:
对于a' = b, b' = a % b 而言，我们求得 x, y使得 a'x + b'y = Gcd(a', b')
由于b' = a % b = a - a / b * b (注：这里的/是程序设计语言中的除法)
那么可以得到:
a'x + b'y = Gcd(a', b') ===>
bx + (a - a / b * b)y = Gcd(a', b') = Gcd(a, b) ===>
ay +b(x - a / b*y) = Gcd(a, b)
因此对于a和b而言，他们的相对应的p，q分别是 y和(x-a/b*y)
补充：关于使用扩展欧几里德算法解决不定方程的办法
对于不定整数方程pa+qb=c，若 c mod Gcd(p, q)=0,则该方程存在整数解，否则不存在整数解。
上面已经列出找一个整数解的方法，在找到p * a+q * b = Gcd(p, q)的一组解p0,q0后，p * a+q * b = Gcd(p, q)的其他整数解满足：
p = p0 + b/Gcd(p, q) * t
q = q0 - a/Gcd(p, q) * t(其中t为任意整数)
至于pa+qb=c的整数解，只需将p * a+q * b = Gcd(p, q)的每个解乘上 c/Gcd(p, q) 即可。

回到这题：

由题意:

(x+mt)-(y+nt)=pL

=>(m-n)t-(y-x)=pL

=>(m-n)t-pL=(y-x) 即 (m-n)t≡(y-x)MOD(L)

令a=m-n,b=L,c=y-x,X=t,Y=p

则原等式转换为 aX-bY=c

使用扩展欧几里德 求出一组解X0,Y0=>aX0-bY0=GCD(a,b)

令d=GCD(a,b) 若c%d!=0 则无解

否则对于等式

aX0-bY0=d

=>a[X0/d]-b[Y0/d]=1

=>a[c*X0/d]-b[c*Y0/d]=c

此时c*X0/d即为所求的t

可以证明其为在0附近的最小解，由于c可能小于0，则加b（X增b，Y减a,和不变）使之为正解。

#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>#include <map>#define LL __int64#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>using namespace std;LL X,Y;LL  exgcd(LL a,LL b,LL &X, LL &Y){    if(b==0)    {        X=1;        Y=0;        return a;    }    LL g=exgcd(b,a%b,X,Y);    LL s=X;    X=Y;    Y=s-(int)(a/b)*Y;    return g;}int main(){    LL x,y,m,n,L;    while (cin>>x>>y>>m>>n>>L)    {        LL A=m-n;        LL B=L;        LL C=y-x;        if (A<0)        {            A=-A;            C=-C;        }        LL d=exgcd(A,B,X,Y);        if (m==n||C%d!=0)        {            printf("Impossible\n");        }        else        {            B/=d;            C/=d;            long long t=C*X;            cout<<(t%B+B)%B<<endl;        }    }    return 0;}