POJ 1837 01背包变种

题目地址在：http://poj.org/problem?id=1837

做这个题目的开始，真的还没有什么思路，即使有人说是０１背包，不过依然不知道如何将问题装换成０１背包的模型。

在比较经典的背包问题中，一般会有一些物品，物品用(Wi, Vi)组成，Wi表示其重量，Vi表示其价值。 然后给一个容量固定的背包，然后选择物品，达到价值最大这个目标。

1. 当物品可以分割的时候，贪心算法

2. 当物品只有一件的时候，是01背包

3. 当物品有无数件的时候，是完全背包

4. 当物品有固定件的时候，是部分背包

这个题目的描述如下：

有一个天平，天平上有若干的挂钩，给你若干的砝码，求有多少种方法，可以让天平平衡。

这个题目我读了半天才搞明白什么意思。 用图一下子就明白了。

天平上的钩子，就是红点所示的东东，而砝码就是绿色的东东。 这里可能利用到一些物理知识， 天平平衡条件应该是

∑ wi * di = ∑ wj * dj。

其中i表示左侧的组合，j表示右侧，w表示各自重量，di表示到天平中心的距离。 

力矩 = 力 * 力臂，这样依据平衡状态而得到的 DP 方程如下。

DP[i] [j + weights[i-1]*armLen[k]] += DP[i-1][j]; 

也等价于             

                                        DP[i] [j] += DP[i-1][j - weights[i-1]*armLen[k]]; 

现在我们描述所有力矩的状态，dp[i][j] 表示当我们放完了第 i 个砝码的时候，力矩是 j 的所有放法数。

如果直接用 j 会出现问题，因为左力矩是负的，不过我们可以找出一个比较大的数，将所有状态 j 加上这个数，就得到一个非负数的状态。

我们这里 砝码最大 25， 钩子最远是 15， 最多有20 个砝码。可知 最大的状态应该是 [-7500, 7500], 所有我们可以将每个状态加上 7500， 将状态变成 [0, 15000]. 

Source CodeProblem: 1837User: hopeztmMemory: 780KTime: 47MSLanguage: C++Result: AcceptedSource Code#include <stdio.h>#include <memory.h>#define MAX_STATUS 7500#define MAX_NUM 21int armLen[MAX_NUM];int weights[MAX_NUM];int nArm, nWeight;int DP[MAX_NUM][MAX_STATUS];int main(){int i,j; while(scanf("%d%d", &nArm, &nWeight) != EOF){memset(DP, 0, sizeof(DP));                //input for( i = 0; i < nArm; i++){scanf("%d", armLen + i);    }int weightSum = 0;for( i = 0; i < nWeight; i++){scanf("%d", weights + i);weightSum += weights[i];}                //get max and min status IDconst int maxStatus = armLen[nArm - 1] * weightSum;const int minStatus = armLen[0] * weightSum;DP[0][MAX_STATUS] = 1; // if we put 0 weight, and the balanced is balancedfor( i = 1; i <= nWeight; i++) // for all weights{for( j = minStatus; j <= maxStatus; j++){for( int k = 0; k < nArm ; k++){DP[i][j + weights[i-1]*armLen[k] + MAX_STATUS] += DP[i-1][j + MAX_STATUS]; }}}printf("%d\n", DP[nWeight][MAX_STATUS]);}return 0;}