分类算法之logistic 回归模型

logistic regression是统计学习中经典的分类算法，属于对数线性模型。

回归模型：

给定一个数据集合(x1,y1)(x2,y2)...(xn,yn)，有监督学习构建模型，学习过程就是模型参数θ的学习过程。作为discrimination algorithm，对 P(Y|X;θ)建模，

针对二分类问题，我们选择logitic 分布来描述P(Y|X)的分布，g(x)=ex1+ex，，这样logistic回归模型服从下面的条件概率：

P(y=1|x)=eθTx1+eθTx

P(y=0|x)=1−(P(y=1|x)=11+eθTx

在预测时，给定Input value x，分别计算P(y=1|x),P(y=0|x)，x属于概率大的那个类别。

关于为什么选择logistic函数，我理解(参考斯坦福视频 Ng的说法)：

1.logistic函数形式比较简单，处理起来也比较简单

2.生成模型可以得到判别模型(反过来不成立)，生成模型首先对数据建模，假设模型服从F(x)分布，也就是数据可以有F(x)生成，那么F(x)是二项分布、γ分布、gaussian分布等，对应的判别模型都是logistic分布(神奇，不过这个过程还不是很了解，需要对generative model和discriminative model进一步了解)，而判别模型是不考虑数据分布的，所以选择logistic分布大多数情况下都是对的。

模型参数估计：

定义模型后，需要基于DataSet学习模型参数，也就是θ，使得数据的概率最大，我们可以用极大似然估计法估计模型参数。

为了方便计算，定义：

p(y=1|x;θ)=π(x),p(y=0|x;θ)=1−π(x)

则有:

p(y|x;θ)=π(x)y=1(1−π(x))y=0

定义参数的似然函数 L(θ)=P(Y|X;θ)=∏Ni=1p(yi|xi;θ)，

对数似然函数:

l(θ)=∑Ni=1lnp(yi|xi;θ)

=∑Ni=1ln(π(xi)yi(1−π(xi))1−yi)

=∑Ni=1(yi)lnπ(xi)+(1−yi)ln(1−π(xi))

目前是求 l(θ)的极大值。

采用的方法是梯度下降或者牛顿法。

之前对模型的推导不理解，也很好奇，所以尽可能的将推导过程写出来，检验一下。

dθjl(θ)

=∑Ni=1(yiπ(xi)−1dθjπ(xi)−(1−yi)(1−π(xi))−1dθjπ(xi))

其中

dθjπ(xi)

=(1+eθTxi)−2eθTxixji

=(1+eθTxi)−1eθTxi1+eθTxixji

=(1−π(xi))π(xi)xji

那么

dθjl(θ)

=∑Ni=1(yi(1−π(xi))xji−(1−yi)π(xi)xji)

=∑Ni=1yi−π(xi)xji

基于梯度下降方法，有

θj=θj+αdθjl(θ)

=>θj=θj+αsumNi=1(yi−π(xi)xji

进行迭代，求解参数。

这种做法每迭代纠结一个参数，需要遍历一遍数据，效率低。

Ng提到做随机梯度下降,只需要遍历一遍数据，但是不一定是最优解

for i to N {

for j to M;

θj=θj+α(yi−π(xi)xji

}

可能在工程上或者分布式应用上，有其他做法，后续研究

多类别回归模型：

之前计算的都是基于二类的，现实中分类可能是多类别的，所以进行扩充

我们定义

πc(x)=p(y=c|x;θ)=eθTcx1+∑K−1k=1eθTkx

K表示对应的类别个数，需要θ的参数个数为K-1，p(y=K|x)=1−∑K−1k=1P(y=k|x)求的

对应的对数似然函数，可以这样来描述：

l(θ)=∑Ni=1lnp(yi|xi;θ)

l(θ)=∑Ni=1lnπ1(xi)I(y=1)π2(xi)I(y=2).....πK−1(xi)I(y=K−1)(1−π1(xi)−π1(xi)...−πK−1(xi))I(y=K)

=∑Ni=1∑K−1k=1I(y=k)lnπk(xi)+I(y=K)ln(1−π1(xi)−π1(xi)...−πK−1(xi))

=∑Ni=1∑K−1k=1I(y=k)θTkx+I(y=K)ln(1−π1(xi)−π1(xi)...−πK−1(xi))

=∑Ni=1−I(y=K)ln(1+∑K−1kk=1eθTkkx))+∑K−1k=1I(y=k)θTkx−I(y=k)ln(1+∑K−1kk=1eθTkkx)

=∑Ni=1−ln(1+∑K−1kk=1eθTkkx))∑Kk=1I(y=k)+∑K−1k=1I(y=k)θTkx

=∑Ni=1−ln(1+∑K−1kk=1eθTkkx)+∑K−1k=1I(y=k)θTkx

备注：

∑Kk=1I(y=k)=1

K表示类别的总个数，M表示特征的总个数，也是θ 是M×(K−1)向量

对l(θ)极大似然估计，可以求出参数，注意，针对θjk求导，表示第k个参数的第j个分量。

采用极大似然估计以及梯度下降等方法，可以求出θ ，进行预测

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