[spfa] hdu 4370 0 or 1

解题报告 from  http://page.renren.com/601081183/note/866168965?null&ref=minifeed&sfet=2011&fin=1&ff_id=313179017&feed=page_reblog&tagid=1982941531&statID=page_601081183_2&level=3

1001  (已更新)

显然，题目给的是一个0/1规划模型。

解题的关键在于如何看出这个模型的本质。

3个条件明显在刻画未知数之间的关系，从图论的角度思考问题，容易得到下面3个结论：

1.X12+X13+...X1n=1 于是1号节点的出度为1

2..X1n+X2n+...Xn-1n=1 于是n号节点的入度为1

3.∑Xki =∑Xij 于是2~n-1号节点的入度必须等于出度

于是3个条件等价于一条从1号节点到n号节点的路径，故Xij=1表示需要经过边(i,j)，代价为Cij。Xij=0表示不经过边(i,j)。注意到Cij非负且题目要求总代价最小，因此最优答案的路径一定可以对应一条简单路径。

最终，我们直接读入边权的邻接矩阵，跑一次1到n的最短路即可，记最短路为path。

以上情况设为A

非常非常非常非常非常非常非常非常抱歉，简单路径只是充分条件，但不必要。（对造成困扰的队伍深表歉意）

漏了如下的情况B：

从1出发，走一个环（至少经过1个点，即不能是自环），回到1；从n出发，走一个环（同理），回到n。

容易验证，这是符合题目条件的。且A || B为该题要求的充要条件。

由于边权非负，于是两个环对应着两个简单环。

因此我们可以从1出发，找一个最小花费环，记代价为c1,再从n出发，找一个最小花费环，记代价为c2。（只需在最短路算法更新权值时多加一条记录即可：if(i==S) cir=min(cir,dis[u]+g[u][i])）

故最终答案为min(path,c1+c2)

/**[spfa] hdu 4370 真是一道好题,且不再吐槽hdu坑爹的数据。一道不知如何下手的题目活生生的转化为了最短路。其次要求两个环(1 -> 1,n -> n)同样spfa，处理一下初始条件(相当于添加一个虚拟点),d[1],d[n]即所要的值。*/#include <stdio.h>#include <string.h>#include <queue>#include <algorithm>using namespace std;#define N 333#define INF 100000000int mat[N][N],d[N];int vis[N],n;bool relax(int u,int v,int c){    if(d[u] + c < d[v])    {        d[v] = d[u] + c;        return 1;    }    return 0;}void spfa(int src){    int i,j,k;    memset(vis,0,sizeof(vis));    queue<int> que;    for(i = 1; i <= n; ++i)        if(i == src)            d[i] = INF;        else        {            vis[i] = 1;            d[i] = mat[src][i];            que.push(i);        }    while(!que.empty())    {        i = que.front();        vis[i] = 0;        que.pop();        for(j = 1; j <= n; ++j)        {           if(relax(i,j,mat[i][j]) && vis[j] == 0)                vis[j] = 1,que.push(j);        }    }}int main(){    int i,j,x;    while(scanf("%d",&n) == 1)    {        for(i = 1; i <= n; ++i)            for(j = 1; j <= n; ++j)                scanf("%d",&mat[i][j]);        spfa(1);        int ans = d[n],c1 = d[1];        spfa(n);        ans = min(ans,c1 + d[n]);        printf("%d\n",ans);    }    return 0;}