数论之因子的个数

1. N的因子个数

 

条件：给定任意一个一个正整数N

要求：求其因子的个数

首先给出结论：对于任意的整型N，分解质因数得到N= P1^x1 * P2^x2* …… * Pn^xn;

则N的因子个数M为 M=（x1+1） * （x2+1） * …… *（xn+1）;

 

证明过程：

 

首先 举个例子吧

24 = 2^3 * 3^1；

其质因子有：为2和3  指数为 3和1

那么对于2 有0 1 2 3四种指数选择，对于3 有0 1两种指数选择

所以 就是4 * 2 = 8 个因子个数

如果还是不懂，那么我们就列举出来吧

2 3

2^0*3^0=1             2^0*3^1=3

2^1*3^0=2             2^1*3^1=6

2^2*3^0=4             2^2*3^1=12

2^3*3^0=8             2^3*3^1=24

结果很清晰了吧？？其实这里用到了数学的排列组合的知识

也就是说每一个质因子的不同指数幂与其它质因子相乘，得到的结果一定不会重复

因此能够将所有的因子都列举出来。

所以N的因子数M，我们可以用M=（x1+1） * （x2+1） * …… *（xn+1）表示

 

 

2. N！的因子个数

 

 

有上面的结论,这个问题就变得明朗多了吧？嘿嘿，不要着急，这里面还有许多细节问题需要我们考虑。

a.  最大的质因子一定不会大于N

b.  N的质因子并不完全包含N！所有的质因子

至于原因是什么，自己想想吧，嘿嘿

 

那我们就直接说思路了：

首先，我们可以把所有的N以内的质数给打表求出来

然后，求每一个质因子的指数个数，这里用到了一个公式，：

     ei=[N/pi^1]+ [N/pi^2]+ …… + [N/pi^n]  其中[]为取整

       附：这一步最近又想到了一个更好的方法  int ei=0;while(N)  ei+=(N/=pi);   怎么样？？ 

           （想一想为什么，实在想不通你就举个例子试一下）

最后，就是套公式计算了，M=（e1+1）*（e2+1）*……*（en+1）

算了，还是举个例子吧

比如5！

质因子2的指数是 2+1=3；

质因子3的指数是 1；

质因子5的指数是 1；

所以因子个数为 4 * 2 * 2 = 16

5！=120 因子有1 2 3 4 5 6 8 10 12 15 20 24 30 4060 120  刚好16个

 

 

3．给定数列的乘积因子个数

 

 

其实这个也是基于第一个结论得到的。

给定 a1 a2 a3 …… an;

我们可以找到最大的一个元素Max(a);

把Max以内的素数打表

然后把质因子清零，进行如下循环，就可以找到各个质因子的个数：

for（a=1；a<=n;a++）

for(p=1;p<_;p++ )

     if(__) e(p)++;

这样质因子的质数个数就求出来了，然后就可以根据公式M=（e1+1）*（e2+1）*……*（en+1）求出因子个数