SICP习题解答2.1-2.6

ex2.1-2.4

#lang racket; exercise 2.1(define (make-rat n d)  (define g (gcd n d))  (let ((g1 (if (< d 0) (- g) g)))    (cons (/ n g1) (/ d g1))))(define (gcd a b)  ;; 返回正最大公约数  (if (= b 0)      (if (< a 0) (- a) a)      (gcd b (remainder a b)))); exercise 2.2(define (make-segment s e)  (cons s e))(define (start-segment seg)  (car seg))(define (end-segment seg)  (cdr seg))(define (make-point x y)  (cons x y))(define (x-point p)  (car p))(define (y-point p)  (cdr p))(define (midpoint-segment seg)  (let ((a (start-segment seg))        (b (end-segment seg)))    (make-point (/ (+ (x-point a) (x-point b)) 2)                (/ (+ (y-point a) (y-point b)) 2))))(define (print-point p)  (newline)  (display "(")  (display (x-point p))  (display ",")  (display (y-point p))  (display ")"))(print-point (midpoint-segment (make-segment (make-point 32 21) (make-point 45 10)))); exercise 2.3;; 假设矩形的边平行于坐标轴，然后用左下点+右上点确定一个矩形(define (make-rect left-bottom right-top)  (cons left-bottom right-top))(define (left-bottom rect) (car rect))(define (right-top rect) (cdr rect))(define (width-rect rect)  (- (x-point (right-top rect))     (x-point (left-bottom rect))))(define (height-rect rect)  (- (y-point (right-top rect))     (y-point (left-bottom rect))))(define (perimeter-rect rect)  (* (+ (width-rect rect) (height-rect rect)) 2))(define (area-rect rect)  (* (width-rect rect) (height-rect rect)))(define r (make-rect (make-point 1 2) (make-point 3 6)))(perimeter-rect r)(area-rect r);; 其他定义一个矩形方法有很多，例如左下点+长宽等; exercise 2.4(define (cdr z)  (z (lambda (p q) q)))

ex2.5

#lang racket; exercise 2.5(define (cons a b)  (* (pow 2 a) (pow 3 b)))(define (car x) (f x 2))(define (cdr x) (f x 3))(define (pow base exp)  (define (iter cur res)    (if (= 0 cur)        res        (iter (- cur 1) (* base res))))  (iter exp 1))(define (f x base)  (define (iter res)    (if (= 0 (remainder x (pow base res)))        (iter (+ res 1))        (- res 1)))  (iter 1))(define x (cons 4 6)) (car x) (cdr x) 

ex2.6

这题是关于Church计数，首先我们来看一下维基百科上的定义：

---------------------------------我-----------是--------分---------割----------线----------------------------------------------

0 ≡ λf.λx. x

1 ≡ λf.λx. f x

2 ≡ λf.λx. f (f x)

3 ≡ λf.λx. f (f (f x))

...

n ≡ λf.λx. fn x

...

就是说，自然数 被表示为 Church 数n，它对于任何 lambda-项F 和 X 有着性质：

n F X =_β Fn X。

---------------------------------我-----------是--------分---------割----------线----------------------------------------------

按照我的理解是：0代表函数f在变量x上作用0次，1代表函数f在变量x上作用1次，... ... ，n代表函数f在变量x上作用n次；其中函数f和变量x是用户自己定义的。上述等式左边代表特殊的0~n（其实他们是函数，需要知道f, x才能求值，也就是需要传入2个参数）

例如我们可以定义x=0，f(x)=x+1，那么等式左边的0~n求值后就对应自然数中的0~n

另外Church计数还定义了如下操作：

---------------------------------我-----------是--------分---------割----------线----------------------------------------------

加法函数 利用了恒等式。

plus ≡ λm.λn.λf.λx. m f (n f x)

后继函数 β-等价于 (plus 1)。

succ ≡ λn.λf.λx. f (n f x)

乘法函数 利用了恒等式。

mult ≡ λm.λn.λf. n (m f)

指数函数 由 Church 数定义直接给出。

exp ≡ λm.λn. n m

---------------------------------我-----------是--------分---------割----------线----------------------------------------------

有了上面这些知识，这题就比较容易理解了。这题给出了0和后继函数succ的定义，让我们求1,2,plus的定义。

已知0和后继函数succ的定义：

(define zero (lambda (f) (lambda (x) x)))(define (add-1 n)  ;;   (lambda (f) (lambda (x) (f ((n f) x)))))

从上面的定义上我们可以看出：zero是一个函数(包含一个参数)，它返回一个identity函数(即本身)；也就是说函数f在变量x上作用了0次，即直接返回x的值。

例如我们可以进行如下的调用((zero f) 100)，其中f可以为任意函数，那么这个表达式的值为100

根据上面的2个定义，我们可以进行如下推到：

  one
= add-1 zero
= lambda (f) (lambda (x) (f ((zero f) x)))
= lambda (f) (lambda (x) (f ((lambda (x) x) x)))
= lambda (f) (lambda (x) (f x))

因而one定义如下：

(define one (lambda (f) (lambda (x) (f x))))

  two
= add-1 one
= lambda (f) (lambda (x) (f ((one f) x)))
= lambda (f) (lambda (x) (f ((lambda (x) (f x)) x)))
= lambda (f) (lambda (x) (f (f x)))

因而two定义如下：

(define two (lambda (f) (lambda (x) (f (f x)))))

从而我们可以推出n的定义：

(define n (lambda (f) (lambda (x) (f (f ... f (x))))))

上面的f调用了n次，当然这个写法不规范，但是我们可以这样认为。

我们在使用n这个函数的时候可以这样调用：((n f) x)，其中f, x可以由用户定义，它的值就是f(...f(x)...)

下面我们来解决加法问题。

(add m n)可以认为对变量n调用了m次add-1函数

调用1次add-1：

(lambda (f) (lambda (x) (f ((n f) x))))

即

(lambda (f) (lambda (x) ((one f) ((n f) x))))

调用2次add-1：

(lambda (f) (lambda (x) (f (f((n f) x)))))

即

(lambda (f) (lambda (x) ((two f) ((n f) x))))

....

....

调用m次add-1：

(lambda (f) (lambda (x) (f...((n f) x))))

也就是：

(lambda (f) (lambda (x) ((m f) ((n f) x))))

因而有如下定义：

(define (add m n)  (lambda (f) (lambda (x) ((m f) ((n f) x)))))