HDU 1003 Max Sum + 单调队列优化dp解法

首先贴上经典dp解法,  以i结尾的最大子段和 d[i] = max(d[i-1]+a[i], a[i]).

但这不是本文的主要目的.

代码 O(n) :

#include<cstdio>#include<cstring>#include<iostream>#include<cmath>#include<string>#include<vector>#include<map>#include<algorithm>using namespace std;inline int Rint() { int x; scanf("%d", &x); return x; }inline int max(int x, int y) { return (x>y)? x: y; }inline int min(int x, int y) { return (x<y)? x: y; }#define FOR(i, a, b) for(int i=(a); i<=(b); i++)#define FORD(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)#define REP(x) for(int i=0; i<(x); i++)typedef long long int64;#define INF (1<<30)const double eps = 1e-8;#define bug(s) cout<<#s<<"="<<s<<" "#define MAXN 100002int a[MAXN];int d[MAXN];//dp:d[i] = max(d[i-1]+a[i], a[i]).int main(){int T = Rint();FOR(ca, 1, T){printf("Case %d:\n", ca);int n = Rint();FOR(i, 1, n){a[i] = Rint();}int st  = 1,  en = 1;int ans_st = 1, ans_en=1;memset(d, 0, sizeof(d));int maxx = -INF;FOR(i, 1, n){d[i] = max(d[i-1]+a[i], a[i]);if(d[i]==d[i-1]+a[i])//output the first one{en = i;}else{st = i;// 就算d值没有更大, 但是也要记录下来st, 等到d值更大时更新给结果, 才会正确, wa1en = i;}if(maxx<d[i]){ans_st = st;ans_en = en;maxx = d[i];}}printf("%d %d %d\n", maxx, ans_st, ans_en);if(ca!=T) putchar('\n');}}

那主要目的是什么?....

我们来换一种思路, 考虑"连续", 

容易得到, 前i个数能得到的最大子段和 d[i] = max{ max(d[j], sum[i]-sum[j]) }, j=[1, i-1]. 这个要O(n*n).
这时我们用单调队列优化, 先把状态改成 以i结尾的最大子段和 d[i] = max(sum[i]-sum[j]), j=[1, i-1]. 这样解变成max{d[i]}.  但是它方便我们维护最值
即d[i] = max(f[k])+sum[i], f[k] = -sum[k], k=[1, i-1].  

OK了~化成这种形式就知道上单调队列了吧~

当然, 这其实也根本不用单调队列, 因为k的下界跟i无关, 一直是1, 换句话说就是没有下界. 所以我们可以扫一遍得到min{sum[k]}.  然后再扫一遍算出 max(sum[i]-min). 就行了.

但是我们还是用单调队列做一下, 主要是为下几篇对 k有限制的情况  做铺垫.

代码:

#include<cstdio>#include<cstring>#include<iostream>#include<cmath>#include<string>#include<vector>#include<map>#include<algorithm>using namespace std;inline int Rint() { int x; scanf("%d", &x); return x; }inline int max(int x, int y) { return (x>y)? x: y; }inline int min(int x, int y) { return (x<y)? x: y; }#define FOR(i, a, b) for(int i=(a); i<=(b); i++)#define FORD(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)#define REP(x) for(int i=0; i<(x); i++)typedef long long int64;#define INF (1<<30)const double eps = 1e-8;#define bug(s) cout<<#s<<"="<<s<<" "//以i结尾的子串最大和d[i] = max(d[i-1]+a[i], a[i]). 这个状态方程可以很好地做到O(n).//但是 我们换一种思路, 把它看成"连续"的问题.//得 前i个数能得到的最大子段和 d[i] = max{ max(d[j], sum[i]-sum[j]) }, j=[1, i-1]. 这个要O(n*n).//这时我们用单调队列优化, 先把状态改成 //以i结尾的最大子段和 d[i] = max(sum[i]-sum[j]), j=[1, i-1]. 这样解变成max{d[i]}.  但是它方便我们维护最值//即d[i] = max(f[k])+sum[i], f[k] = -sum[k], k=[1, i-1]. #define MAXN 100002int sum[MAXN];int d[MAXN];int f[MAXN];int q[MAXN];int front, tail;int main(){int T = Rint();FOR(ca, 1, T){printf("Case %d:\n", ca);int n = Rint();int maxd = -INF;int st=1, en=1;front = tail = 0;f[0] = sum[0] = 0;FOR(i, 1, n)//online{int t = Rint();sum[i]=sum[i-1]+t;f[i] = -sum[i];//把i-1丢进队列while(front<tail && f[q[tail-1]]<f[i-1]) tail--;q[tail++] = i-1;//用front 算 d[i]int low = 0;//说白了就是无下界, 因为有边界, 把下界扩到0while(q[front]<low) front++;//其实永远不会发生, 这里为了把过程写清楚点d[i] = f[q[front]]+sum[i];if(d[i]>maxd){maxd = d[i];st = q[front]+1;en = i;}}printf("%d %d %d\n", maxd, st, en);if(ca!=T) putchar('\n');}}