斐波那契数列--编程之美(待完善)

解法三：分治策略：

注意到Fibonacci数列是二阶递推数列，所以存在一个2*2的矩阵A，使得：(F[n] F[n-1])=(F[n-1] F[n-2])*A，结合F[n]=F[n-1]+F[n-2]求解，可得：A=1 1,1 0(上面是1 1，下面为1 0)，由上面的矩阵递推公式有：(F[n] F[n-1])=(F[n-1] F[n-2])*A=(F[n-2] F[n-3])*A^2=...=(F[1] F[0])*A[n-1]，或

.

剩下的问题就是求解矩阵A的方幂。A^n=A*A*...*A，最直接的解法就是通过n-1次乘法得到结果。但是当n很大时，比如1 000 000或1 000 000 000，这个算法的效率就不能接受了。当然，在这个情况下，F[n]在int所表示的整数里早就溢出了，但如果要求解的是F[n]对某个素数的余数时，这个算法会是非常有用和高效的。

注意到：

A^(x+y)=A^x*A^y

A^(x*2)=A^(x+x)=(A^x)^2

用二进制方法表示n：

n=ak*2^k+a(k-1)*2^(k-1)+...+a1*2+a0(其中ai=0或1，i=0，1，...，k)

A^n=A^(ak*2^k+a(k-1)*2^(k-1)+...+a1*2+a0)=(A^(2^k))^ak*...*A^a0

如果能够得到A^(2^i)的值，就可以再经过logn次乘法得到A^n.

而这容易通过递推得到：

A^(2^i)=(A^(2^(i-1)))^2。根据上面的思想，具体代码如下：

Class Matrix;                                               //假设我们已经有了实现乘法操作的矩阵类
Matrix MatrixPow(const Matrix &m,int n){    //求解m的n次方
    Matrix result=Matrix::Identity;                 //赋初值为单位矩阵
    Matrix tmp=m;
    for(;n;n>>=1){
        if(n&1)result*=tmp;
        tmp*=tmp;
    }
}
int Fibonacci(int n){
    Matrix an=MatrixPow(A,n-1);                    //A的值就是上面求解出来的
    return F1*an(0,0)+F0*an(1,0);
}

整个算法的时间复杂度为O(logn)

转自：http://www.cnblogs.com/yujunyong/articles/2017468.html