矩阵乘法的性质

例1.2.7 设求AB与BA．

解.AB=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n,而．

　

例1.2.8设，求AB．

解.此处A是矩阵,B是矩阵,A的列数等于B的行数，故AB有意义，其积矩阵C应是矩阵．据定义有

C=AB

．

 

例1.2.9设,求AB,BA ．

解.

,

.

由例1.2.9可见,一般说来,矩阵的乘法是不可交换的,甚至像例1.2.7中那样,AB与BA是两个完全不同型的矩阵．从例1.2.8来看,更有甚之,即使AB是可乘的,但BA就根本无意义了．此外,例1.2.9的乘积BA=0,说明两个均非零的矩阵,其乘积可能等于零．

矩阵的乘法具有下列基本性质：

1.结合性（AB)C=A(BC）．

2.对加法的分配性（A+B)C=AC+BC，C(A+B）=CA+CB．

3.对数乘的结合性k(AB）=（kA)B =A(kB）．

4.关于转置 ．

我们仅给出4的证明．设A与B分别是m×n与n×p阶矩阵，则AB是m×p阶矩阵,而B’A’则为p×n与n×m阶矩阵．(AB)＇中第i行第j列元素是AB中第j行第i列元素．据定义，它是

,

而B’A’中第i行第j列元素应是B’的第i行与A’的第j列对应元素乘积之和，即B的第i列与A的第j行对应元素乘积之和

，

由此可见(AB)’中与B’A’的第i行第j列元素对应相等，故(AB)’=B’A’．

在矩阵的乘法中,有一种矩阵起着特殊的作用,如同数的乘法中的1,我们称这种矩阵为单位矩阵．它是个方阵,除左上角到右下角的对角线(称为主对角线)上的元素均为1以外全都为0,即.

若A是m×n阶矩阵,则容易验证I_mA=AI_n=A．我们把I_mA称为用m阶单位矩阵左乘以A，同理，AI_n称为I_n右乘以A．上式可以简言之，任何矩阵左乘或右乘一个单位矩阵，其积仍为A．