快速幂，积取模总结

 在Miller Rabbin测试素数，就用到了快速幂取模的思想。这里总结下。

求a^b%c（这就是著名的RSA公钥的加密方法）
当a,b很大时，直接求解这个问题不太可能 

算法1：利用a*b%c=((a%c)*b)%c,这样每一步都进行这种处理，这就解决了a^b可能太大存不下的问题，但这个算法的时间复杂度依然没有得到优化

算法2：另一种算法利用了二分的思想，可以达到O(logn)。
可以把b按二进制展开为：b = p(n)*2^n  +  p(n-1)*2^(n-1)  +…+   p(1)*2  +  p(0)
其中p(i) (0<=i<=n)为 0 或 1

这样 a^b =  a^ (p(n)*2^n  +  p(n-1)*2^(n-1)  +...+  p(1)*2  +  p(0))
               =  a^(p(n)*2^n)  *  a^(p(n-1)*2^(n-1))  *...*  a^(p(1)*2)  *  a^p(0)
对于p(i)=0的情况, a^（p(i) * 2^(i-1) ） =  a^0  =  1,不用处理
我们要考虑的仅仅是p(i)=1的情况
化简：a^(2^i)  = a^(2^(i-1)  * 2) = (  a^(  p(i)  *  2^(i-1)  )  )^2（这里很重要！！）
利用这一点，我们可以递推地算出所有的a^(2^i)
当然由算法1的结论，我们加上取模运算a^(2^i)%c = ( (a^(2^(i-1))%c) * a^(2^(i-1)))  %c
于是再把所有满足p(i)=1的a^(2^i)%c按照算法1乘起来再%c就是结果
 即二进制扫描从最高位一直扫描到最低位。

代码：

1. #include<stdio.h>
   
2. #include<time.h>
   
3. int Expmod(__int64 a,__int64 n,__int64 k)//k越小，二进制位越接近高
   
4. {
   
5.      int t;
   
6.      if(0==k) return 1%n;
   
7.      if(1==k) return a%n;
   
8.      t=Expmod(a,n,k/2);
   
9.      t=t*t%n;                          
   
10.      if((k&1)==1) t=t*a%n;
    
11.      return t;
    
12. }
    
13. void main()
    
14. {
    
15.      int t;
    
16.      t=clock();
    
17.      __int64 a,n,k;
    
18.      while(scanf("%I64d %I64d %I64d",&a,&k,&n))
    
19.          printf("%d  %d\n",Expmod(a,n,k),clock()-t);
    
20. } 
    

算法3：与算法二类似，直接利用位运算将b进行移位，该算法减少了递归资源的占用，比算法二要好一点

代码： 

1. int Expmod(__int64 a,__int64 n,__int64 k) 
   
2. {
   
3.      int t=1;  
   
4.      //  a^(2^i) = a^(2^(i-1) * 2) = ( a^( p(i) * 2^(i-1) ) )^2
   
5.      for(  ;  k  ;  k>>=1,a=a*a%n)   
   
6.      if(k&1) t=t*a%n;
   
7.      return t;
   
8. }
   

 快速求积，快速求幂，大指数取模
传说中的O(lgn)时间的快速算术算法和超大整数的取模算法。
1.快速求积，a*b=a*2*b/2


int fast_mul(int a, int b){
    int m = 0;
    while(b){
        if(b & 0x01){
            //a*b = a+a(b-1)
            m += a;
            --b;
        }else{
            //a*b = a*2*b/2
            a <<= 1;
            b >>= 1;
        }
    }
    return m;
}


2.快速求幂，a^e=a^(2*e/2)


int fast_exp(int a, int e){
    int exp = 1;
    while(e){
        if(e & 0x01){
            //a^e = a*a^(e-1)
            exp *= a;
            --e;
        }else{
            //a^e = a^(2*e/2)
            a *= a;
            e >>= 1;
        }
    }
    return exp;
}


3.大整数取模，(a*b)%m = ((a%m)*(b%m))%m


int bigint_mod(int a, int n, int m){
    int mod = 1;
    while(n){
        if(n & 0x01){
            //(a*b)%m = ((a%m)*b)%m = (a*(b%m))%m = ((a%m)*(b%m))%m
            mod = (mod*a)%m;
        }
        a = (a*a)%m;
        n >>= 1;
    }
    return mod;
}