组合算法面试题

组合算法题往往有多个变种，如求一个集合的全部子集以及部分组合问题，这篇文章对这些常见的面试题做个汇总，权当做个记录，以免自己哪天忘了，难得到网路上去找。

一、求一个集合的全部子集

题目：给定一个集合s={a, b, c, d}，试给出一个算法输出该集合的除了空集之外的全部子集。

分析：我们知道，一个集合的子集数目跟它的元素数目有关，集合元素数目为n，则子集数目为2^n。如包含两个元素的集合s1 = {a, b}，则它的子集有：空集、{a}、{b}、{a, b}一共四个。求子集问题即从包含n个元素的集合中选取m个元素的问题，m可以是1...n。我们先从头扫描字符串的第一个字符。针对第一个字符，我们有两种选择：一是把这个字符放到组合中去，接下来我们需要在剩下的n-1个字符中选取m-1个字符；二是不把这个字符放到组合中去，接下来我们需要在剩下的n-1个字符中选择m个字符。这两种选择都很容易用递归实现。实现代码如下：

void Combination(char* string){    if(string == NULL)        return;    int length = strlen(string);    vector<char> result;    for(int i = 1; i <= length; ++ i)    {        Combination(string, i, result); //从strng中选择i个字符，结果保存在result中    }} void Combination(char* string, int number, vector<char>& result){    if(number == 0)    {        vector<char>::iterator iter = result.begin();        for(; iter < result.end(); ++ iter)            printf("%c", *iter);        printf("\n");        return;    }    if(*string == '\0')        return;    result.push_back(*string); //选择当前字符    Combination(string + 1, number - 1, result);    result.pop_back();  //不选当前字符    Combination(string + 1, number, result);}

求子集还有一个更简单的算法，就是使用二进制。将数字从1——2^n-1循环，哪个位置位就选择。假定集合字符为{a, b ,c }，则

001           a

010           b

011           a       b

...

依次类推就可。代码如下：

void comb(char *str) {    int len = strlen(str); //字符串长度，如str = “abc”长度为3    int max = 1 << len; //字符串自己的数目，如"abc"子集数目为8    for (int i=1; i<max; i++) {  //输出所有子集，这里除去空集，所以从i=1开始输出        int k = i;        int index = 0;        while (k > 0) {            if (k & 1) {                 cout << str[index] << " ";            }            k >>= 1;            index++;        }        cout << endl; //每次输出一个子集换行    }}

二、人民币问题

题目：人民币有1元、2元、5元、10元、20元、50元、100元面值，试给出一个算法找出和为100的人民币组合（不包括100本身）。比如2张50的，或者2张50+2张20+1张10等。

分析：该题目与上面问题类似，可以采用组合的思路来解决。代码如下：

/* * rmb.cpp * *  Created on: 2012-8-28 *      Author: shusheng */#include <iostream>using namespace std;#define N 6int w[N];int number_used[N];bool is_used[N];int countnum = 0;void init() {w[0] = 1;w[1] = 2;w[2] = 5;w[3] = 10;w[4] = 20;w[5] = 50;for (int i = 0; i < N; i++) {number_used[i] = 0;}}void rmb(int start_index, int left_weight) {if (left_weight == 0) {for (int i = 0; i < N; i++) {if (number_used[i] > 0)cout << w[i] << "元: " << number_used[i] << "张 ";}cout << endl;countnum++;return;}for (int i = start_index; i < N; i++) {if (left_weight >= w[i]) {number_used[i]++;rmb(i, left_weight - w[i]);number_used[i]--;}}}int main() {init();rmb(0, 100);cout << countnum << endl;return 0;}

函数rmb(start_index, left_weight)的功能定义是从start_index开始选择，输出最终和为left_weight的所有钱币组合。这里类似于完全背包问题，即每一样钱币都可以选择多次，而背包容量大小为100，每样物品的价值就是钱币面值，只是这里不是求最大值，而是总的组合数目。

当然这里的代码可以修改成另外一种形式，也许更好理解，如下所示：

void rmb(int start_index, int left_weight){    if (left_weight == 0)    {        for (int i = 0; i < N; i++)        {            if (number_used[i] > 0) cout << w[i] << "元: "<< number_used[i] <<"张 ";        }        cout << endl;        return;    }    for (int i = start_index; i < N; i++)    {        int y = left_weight;        while (y >= w[i]) {            number_used[i]++;            y -= w[i];            rmb(i+1, y);        }        number_used[i] = 0;    }}

这里的代码for循环中就是先从1元开始选，这种情况完成后，再从5元开始选（即最小钱币值为5），再是10、20等。

三、整数分解问题

给定一个正整数，试输出所有的分解。如5=1+1+1+1+1 = 1+1+1+2=1+1+3=1+2+2=1+4

其实这个问题也可以参照上面的人民币的例子，只是这里的数组取值改成了1,、2、3、4...n-1。当然此题应该还有更好的解法，暂时以这个思路写一下：

#include <iostream>#include <vector>using namespace std;#define NUMBER 10  //要分解的数为10static int cnt = 0; //分解数目vector<int> part; //用于存储分解结果void generate_partition(int x, int i, int v[]){    if (x == 0) {  //输出        cout << ++cnt << ": ";        for (int j=0; j<part.size(); j++) {            cout << part[j] << " ";        }        cout << endl;        return;    }    for (int j=i; j<NUMBER-1; ++j) { //输出逻辑是先输出包含1个v[j]的，然后是2个v[j]的...        int select = v[j];        int c = 0, y=x;        while (y >= select) {             part.push_back(select);            y -= select; c++;            generate_partition(y, j+1, v);        }        while (c--)            part.pop_back();    }}int main(){    int x = NUMBER;    int v[NUMBER-1];    for (int i=0; i<NUMBER-1; i++)        v[i] = i+1;    generate_partition(x, 0, v);    return 1;}

参考资料

http://zhedahht.blog.163.com/blog/static/2541117420114172812217/

http://blog.csdn.net/yysdsyl/article/details/4215232