数理逻辑：谓词演算（20）在谓词演算中表达的公理系统

 

20.用谓词演算表达非逻辑公理系统

      我们在3、4两章中已经完整揭示了谓词演算可推出公式所包含的意义。我们已经证明，所有可推出公式都是永真命题，也就是所谓的“逻辑重言式”，而反之，每一个永真命题也都是谓词演算的可推出公式（完全定理）。

      由此我们明白，从谓词演算公理系统出发，我们是推导不出任何具有具体意义的命题来的。比如说，我们推导不出任何一个数学真命题。但是，如果我们把某个不可推出的公式加入谓词演算中作为新公理，就有可能推出各种非永真的命题来。不过，如果我们对作为新公理加入的公式不加任何选择，那么也会把公理系统弄成毫无意义。例如，我们把公式

加入谓词演算中作为新公理，那么，尽管也可以扩大可推出公式的范围，但没有任何意义，因为这一公式的意义是说，所有的个体都相同。

      我们在第3章用语义学观点描述谓词逻辑时，也曾观察过不同的公理系统。这时我们把个体与谓词区分为常量与变量。但当我们讨论谓词演算时，恰始终仅考虑变量。为了扩大谓词演算的应用范围，使它有可能用来描述现有的各个数学分支，我们在谓词演算中也引入个体常量和谓词常量的概念。

      为了引用个体常量和谓词常量，我们有时也分别沿用小写的和大写的拉丁字母，不过，在这种情况下，我们每次都将指出，哪些字母代表常量，哪些字母代表变量。我们常常用字母表前面的几个字母 的大小写a,b,c和A,B,C 分别代表个体常量和谓词常量，用后面的字母的大小写 x,y,z, X,Y,Z  代表个体变量与谓词变量，但有时我们也会用字母表之外的符号代表常量，例如用0,1,2,...等数字来表示个体常量，用等号“=”或小于号“<”这些人们习惯使用的符号来代表谓词常量（常谓词）。

      在引进新符号之后，相应的公式概念也要扩充。我们仍然称具有

形式的表达式是公式，但须注意·，这里的F可以是谓词变量，也可以是谓词常量，而括号内的符号 x1,x2,...,xn 可以是个体变量，也可以个体常量。对于使用特殊符号的谓词常量，在记法上有时要做某些改变，例如对于等于符号=，我们不写成

=(x,y)

的形式，而是把个体符号x,y分别放在 = 号的两边，也就是说，写成

x = y

的形式。对于次序符号<，也同样有这个问题。我们不是写成 <(x,y) ，而是写成

x < y

的形式。另外要注意，对于个体常量，我们不可以添加量词，也就是说，如果a 是个体常量，则

都没有意义。

      此外，在真公式形成规则中，如果我们记

则 F 必须是谓词变量，并且是n元的谓词变量。上式的意义是，在公式

中，把每一个形如

的表达式代之以

其中

可以是变量，也可以是常量。

       又自由个体变量的代入规则要作如下推广，即改成：

如果是真公式，则把中的自由个体变元代成另一些个体变量或个体常量，只要规定相同的变量用相同的符号代，则所得结果仍是真公式。

   谓词演算其余的推理规则保持不变，公理也保持不变。

   谓词演算作了上述推广修改后，我们继续称此系统是谓词演算【译者注：用同一术语代表不同概念毕竟不是好办法！为此，我常把原来的谓词演算叫纯逻辑谓词演算，而加进个别谓词常量与个体常量后的谓词演算系统叫应用谓词演算】。容易看到，在谓词演算中引入以上这些补充之后，对于谓词演算本身，并未发生实质的影响。因为谓词演算的公理不包含任何个体常量和谓词常量，而推理规则所作的更改都是有关应用谓词常量和个体常量时的一些限制，和原来谓词变量和个体变量上的应用并无影响。如果一个公式在原谓词演算中可推出，则它在新的谓词演算中照样可以推出【注：反之不对】。但它们对于构造描述一般数学理论的应用逻辑演算来说恰是极端重要的。现在我们假设

是谓词演算公式，但现在允许它们包含个体常量和谓词常量，我们将这些公式加到原来的谓词演算公理中，而推理规则按上面的所说的那样更改。这时我们就得到一个新的形式系统，所有谓词演算真公式仍然可以从这个系统中推出，但是此外还能推出谓词演算所不能推出的公式（假设Ui中至少有一个是谓词演算不能推出的）。

   作为例子，我们重新考察第三章中考察过的等式公理：

其中 x,y是个体变量，而 “=” 是谓词常量，A( )是谓词变量。容易证明，这两个公式都不可能从原谓词演算中推出。事实上，原谓词演算不含谓词常量 “=”，而这两个公式中都含有“=” 号，故不可能从原谓词演算中推出。今后我们将证明，由加入1,2 的新谓词演算系统，可以推出有关等式的一切基本性质。

      将这种或那种公理加入原谓词演算公理系统后所得的新公理系统就可以用来描述各种各样的数学理论。我们可以用这种方法来描述算术，描述实数理论，描述各种几何，最后也可用来描述非常基础的集合论。一般说来，任何演绎科学都可以用此方法进行描述。因此，从原则上说，我们已经没有必要去构造更一般的、更高级的形式系统。

      当我们考虑任何公理系统时，必须解决系统内部的一致性问题。我们知道，系统的一致性是一个重要问题，如果系统内部不一致，则该系统中任何公式变成又真又假。因此，从认识论的角度来看，该系统变得毫无用处。但是解决一致性问题包含着特别的且是无法克服的困难，问题就在于：当我们作出某个演算无矛盾证明时，那么这个证明必须建立在这样一些前提之上，它们本身是不可能在该公理系统中推出的（所有论证，包括各种对公理系统无矛盾性的论证，都可以形式化，都可以表达成为由公理出发的一种演绎，并且这种公理可由上述谓词演算的公式表达）。

      因此，为了证明某个演算的一致性，必须利用为该演算本身所不能推出的前提，这样，为了解决一致性问题，就必须有可能从某个源泉获得愈来愈强的前提，而这些前提本身的一致性我们已可以完全相信，可以设想这种前提是那种有限论证系统，在这种系统范围内，我们可以定义逻辑系统，并且可以进行有关它们的讨论。但遗憾的是，即使是像算术这样的简单系统，为了证明它的一致性，Hilbert的有限系统已经不够用。在目前，为了解决更强一点的数学理论的一致性问题，我们都以集合论作为实际的解释工具，证明某个系统的一致性问题，就变为这样一个过程：我们证明，如果集合论在某种意义下无矛盾，则我们感兴趣的那个系统也无矛盾。

      这样一种讨论又往往可以在Hilbert的有限体系范围内作出，因为，在这时，无论是我们需要的集合论，或者还是我们需要研究的系统，都可以利用谓词演算工具作公理描写，这样，代替证明一个系统的无矛盾性，我们去证明一个更弱的问题——将被考察系统的无矛盾性归结成为某个形式的集合论的无矛盾性。

      目前已经能够说出哪些原则，由他们可以指示怎样为证明那些强形式系统——甚至就是集合论，的无矛盾性创造前提，并且这些前提本身的无矛盾性要比集合论的无矛盾性要基本得多，但这一问题已超出本书的范围，我们在这里不再进一步讨论。我们今后只限于证明可以利用有限方法解决那些无矛盾性问题。

      除了公理系统的无矛盾性之外，还要讨论公理系统的独立性。但这一问题的解决并不包含更多原则性的困难。公理系统的独立性通常是对无矛盾的系统提出的，而证明一个公理系统的独立性常常就是归结成某个系统的无矛盾性。

      虽然我们说过，为了描写任何数学系统，从原则上说，已无需再对谓词演算的符号、公式、推理规则进行任何新的变动，但为了某些时候的方便，我们仍有必要在所述基础上再作适当的更改。在今后描写公理化算术时，你就会看到是这样做的。

【第4章第20节完，第4章也整个完成】