容斥原理

容斥原理
在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，
人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，
把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，
使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

（转）http://blog.csdn.net/pvpishard/article/details/7529834

1、Dice (I) lightOJ 1145
**题目大意**：

N个K面色子排成一列，使得朝上那面的数字和为S，有几种排法？

**题目类型**：

动态规划

**解题思路**：

dp[i][j]保存前i个色子总和为j有几种方法。
转移方程：dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i-1][j-2]+...+dp[i-1][j-K];

状态有N*S个，转移复杂度是K，朴素的做法肯定会超时，那如何优化呢？

把DP数组想象成平面二维矩阵，再想象下转移方程，就会发现dp[i][j]和dp[i][j-1]的转移方程有很大的重叠部分，具体如下：

dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i-1][j-2]+...+dp[i-1][j-K];

dp[i][j-1]=           dp[i-1][j-2]+...+dp[i-1][j-K]+dp[i-1][j-K-1];

因此可以得到dp[i][j]=dp[i][j-1]-dp[i-1][j-K-1]+dp[i-1][j-1];

转移已经优化到O(1)复杂度了，但dp数组是N*S=1500w的复杂度，因此要用滚动数组优化一下，变成O(S)。

虽然这道题归类为DP，但由于没有任何特殊限制，可以有更高效的方法，用容斥原理可达O(N)复杂度。

设f(i)=N个色子里至少有i个色子超过K，且色子总和为S的方法数;

则答案为f(0)-f(1)+f(2)-f(3)...±f(N)

f(i)的求法：N个色子选i个有C(N,i)种(这i个是保证要超过K的，其他的超不超过无所谓)，每种情况下要把S-i*K分成N份且每份至少为1。所以f(i)=C(N,i)*C(S-i*K-1,N-1);

2、How Many Sets I zoj

（转）http://www.migantech.com/blog/codes/2012/09/01/zoj3556-how-many-sets-i-%E5%AE%B9%E6%96%A5/

个数为n的集合的子集有2^n个，从中选出K个使得他们的交集为空的个数。
由于集合可以重复被选，所以总的数目是2^(kn)
然后选中的集合都包含x这个数的数目是c(n,1)*2^(n-1)k
选中的集合包含x1,x2的数目是c(n,2)*2^(n-2)k
……
所以满足的集合的个数res=2^kn-c(n,1)*2^(n-1)k+c(n,2)*2(n-2)k-……