酉矩阵

来源：互联网发布：橙名网络编辑：程序博客网时间：2024/05/18 00:36

若一n行n列的复数矩阵U满足

$U^\dagger U = UU^\dagger = I_n\,$

其中 $I_n\,$ 为n阶单位矩阵， $U^\dagger \,$ 为U的共轭转置，为酉矩阵(英文: Unitary Matrix, Unitary 是归一或单位的意思)。即，矩阵U为酉矩阵，当且仅当其共轭转置 $U^\dagger \,$ 为其逆矩阵:

$U^{-1} = U^\dagger \,\;$ 。

若酉矩阵的元素都是实数，其即为正交矩阵。与正交矩阵G不会改变两个实矢量的内积类似，

$\langle Gx, Gy \rangle = \langle x, y \rangle$

酉矩阵U不改变两个复矢量的内积：

$\langle Ux, Uy \rangle = \langle x, y \rangle$

若 $U \,$ 为n阶方阵，则下列条件等价：

酉矩阵的特征值都是模为1的复数，即分布在复平面的单位圆上，因此酉矩阵行列式的值也为1。

酉矩阵是正规矩阵，由谱定理知，酉矩阵U可被分解为

$U = V\Sigma V^*\;$

其中V是酉矩阵， $\Sigma$ 是主对角线上元素绝对值为1的对角阵。

对任意n，所有n阶酉矩阵的集合关于矩阵乘法构成一个群。