蓄水池抽样问题

题目：

微软电面问到的问题，前面提了一大堆背景，最后归结为一个问题，如何在连续的网络流量中，等概率随机抽取1个数据包。

分析：

参加电面时，还没看过蓄水池抽样问题，后来回来一搜，这就是典型的蓄水池抽样问题，不过当时自己也想到了一种解法，使用一个变量保存数据包，从1到i个数据包，每次遇到第i个数据包，以1/i的概率选取这个数据包，并且替换原来的数据包，这样到第n个数据包，我们能保证我们以1/n的概率选取这n个数据包中的1个。

证明：

加入第i个数据包到来，我们以1/i的概率选取这个数据包，显然，它的概率是符合的，那么第i-1个数据是不是也符合呢？我们假设第i-1次取数据包时，前面i-1个数据包以1/(i-1)的概率选取，那么第i-1个数据包被保留下来的概率是1-p(第i个数据包保存)再乘上p(1到i-1次选择被保存的概率)，这里p(1到i-1次选择被保存的概率)就是假设的1/(i-1)，那么第i次取包，前i-1个数据包被保存的概率是：

(1 - 1/i) * 1/(i - 1) = 1/i，说明前i-1个数据包的选取概率也是1/i；

由此进行归纳，可以得到最终结果。

扩展：

考虑蓄水池中抽取k个元素。

方法还是一样，假设前i次选择时，前i个数据包被选到水库的概率是k/i，那么第i+1次选择时，前面i个数据包保留在水库中的概率是

k/i * (1 - k/(i + 1) * 1/k) = k/(i + 1)

所以第i+1次选择，所有的数据包还是以k/(i + 1)的概率保存到水库中，得证。

伪代码如下：

Init : a reservoir with the size： k        for    i= k+1 to N            M=random(1, i);            if( M < k)                 SWAP the Mth value and ith value       end for

总结：

蓄水池问题非常经典，而且非常实用，需要理解其中原理。