算法学习之数据结构之红黑树（一）

　　一，红黑树性质。

　　由于二叉查找树知道，一个高度为h的二叉查找树可以实现任何一种基本的动态几何操作，如search，insert，minimum，delete，successor等操作，其时间都是O(h)，这样树的高度低了就会执行的比较快，但是当树的高度较高时，操作的性能可能不比链表好。红黑树是许多“平衡的”查找树中的一种，他能保证在最坏的情况下，基本的动态集合操作的时间为O(lgn)。

　　红黑树的性质。红黑树是一种二叉查找树，，每一个节点增加一个存储位表示节点的颜色，为红色或者黑色。红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出两倍。因而是接近平衡的。

　　树的每个节点包含五个域：color, parent, key, left, right。一个二查找树如果满足如下红黑性质，则为一个红黑树。

　　1)每个节点或是红的，或是黑的。  

　　2)根节点是黑。

　　3)每个叶节点（NIL）是黑的。

　　4)如果一个节点是红的， 则它的两个孩子都是黑的。

　　5)对每个节点，从该节点到其子孙节点的所有路径上包含相同数目的黑节点。

　　从某个节点x出发到达一个叶节点的任意一条路径上，黑色节点的个数成为该节点x的黑高度。

　　一个有n个内节点的红黑树的高度至多为2lg(n+1)

　　

　　二、红黑树旋转。

　　当对红黑树上进行insert和delete时，对树进行了修改，结果可能会违反红黑树的性质，所以需要改变树中的节点的颜色和指针结构，即需要进行旋转。

　　左旋，假设它的右孩子节点y不是nil[T]；x可以为树内任意右孩子不是nil[T]的节点，左旋以x和y之间的链为轴进行，它使y成为该子树新的根，x成为y的左孩子节点，而y的左孩子节点为x的右孩子。

　　伪代码如下：

left-rotate(T, x)y = right[x]right[x] = left[y] // y的左子树变为x的右子树parent[left[y]] = xparent[y] = parent[x] // x的父亲节点是y的父亲节点if parent[y] == null    then root[T] = y // x的根节点是根节点则置为y    else if x == left[parent[x]] // 如果x是其父节点的左孩子节点，则将y置为x父节点的左孩子节点否则置为其父节点的右孩子节点             then left[parent[x]] = y             else right[parent[x]] = yleft[y] = x // y的左孩子结点是xparent[x] = y // x的父亲节点是y

　　三、红黑树插入。

　　

　　分为两部分，先把节点插入红黑树中，并着为红色，然后进行修补以保持红黑树的性质。先看前一部分的伪代码，和二叉查找树的插入大部分类似。

rb-insert(T, z)y = nullx = root[T]while x != null    do y = x        if(key[x] < key[z])            then x = right[x]            else x = left[x]parent[z] = yif(y == null) //树是空的    then root[T] = z    else if key[z] < key[y]        then left[y] = z        else right[y] = zleft[z] = nil[T]right[z] = nil[T]color[z] = RED // 着色为红色rb-insert-fixup(T, z)

　　就最后四行和二叉查找树不一样，其他的都一样，并着为红色，然后进行修补以保持红黑树的性质，接下来看rb-insert-fixup(T, z)，将插入的节点z着为红色以后，可能破坏的性质有性质2和性质4，所以我们要做的就是恢复性质2和性质4.先大致说一下判断情况：

1，首先让一个指针y指向z的叔叔节点（z是要删除的节点）。

2，如果y是红色的，CASE1。则使z的父亲节点和叔叔节点改为黑色，z的祖父及诶单改为红色。然后z转移到z的祖父节点。

3，当y的颜色是黑色时，

①.首先判断z是否是其父亲结点的右儿子，若是，则调整为左儿子(用旋转)。 CASE2。

②.其次使z的父亲结点颜色为黑，z的祖父结点颜色为红，并以z的祖父结点为轴右旋，CASE3。看伪代码吧。

伪代码如下：

rb-insert-fixup(T, z)while color[p[z]] = RED    do if parent[z] == left[parent[parent[z]]] // z节点的父亲节点是其祖父节点的左孩子节点             then y = right[parent[parent[z]]] // y为z节点的祖父节点的右孩子节点，即叔叔节点                    if color[y] == RED // 叔叔节点为红色 CASE1                        then color[parent[z]] = black // 父亲节点黑色                               color [y] = black // 叔叔节点黑色                               color[parent[parent[z]] = red // 祖父节点红色                               z = parent[parent[z]]                        esle if z == right[parent[z]] // 叔叔节点是黑的，且z为父节点的右孩子节点 CASE2                                 then z = parent[z]                                        left-rotate(T, z)  // 左旋转                         // CASE3                        color[parent[z]] = black //把父节点着黑色                        color[parent[parent[z]]] = red //原来的祖节点着红色                        right-rotate(T, z)         else // z节点的父亲节点是其祖父节点的右孩子节点                操作和左孩子节点一样color[root[T]] = black // 最后把根节点置为黑色

具体解释如下：

　　根据Z的父节点是Z的祖节点的左子节点还是右子节点，分为两组对称的情况，每组有3种情况。以Z的父节点是Z祖节点的左子节点为例：  

第一种：Z的“叔父”节点是红色。

 

              

 

如上图所示，在这种情况下，将父、叔节点都着为黑色，再将子树根节点着为红色，那么子树的黑高度没有发生改变，而且红黑性质得得到了调整。此时，再将Z指向子树的根节点，向上递归恢复红黑特性。

第二种：Z的“叔父”节点是黑色的，Z的父节点的右子节点。 

 

如上图，将Z本身与其父节点进行一次左旋，让Z指向原来的父节点，就可以调整为情况三，下面看情况三。

第三种：Z的“叔父”节点是黑色的，Z的父节点的左子节点。
 

如上图，将Z的父节点与祖节点进行一次右旋，并把父节点着黑色，原来的祖节点着红色。这些子树的红黑特性得到了恢复，而且子树的黑高度没有变化。另外，由于子树根节点已经是黑色了（这个节点不会出现父子同为红色的问题了），所以不必再向上递归了，此时整个树的红黑特性都已经是正确的了。

由于红黑树的删除比较复杂，放在下一篇。

网上发现不错的学习资料，分享一下：红黑树算法的层层剖析与逐步实现