跳表(Skip List)的介绍以及查找插入删除等操作
来源:互联网 发布:平面设计书籍 知乎 编辑:程序博客网 时间:2024/04/27 11:20
什么是跳表?要说清楚这个问题,我们就要先从普通的有序链表说起。一个普通有序列表的结构如下:
我们可以看到,上图所示的链表按照由小到大的顺序排列(-1表示最小值,1表示最大值,这是本文的一个约定),如果我们想要查找一个元素x,算法如下:
上面这个算法得到了x元素的前驱或者所有大于x的元素中最小的一个元素。
基于上面这个链表,我们想要插入一个元素35的算法是:
想要删除元素37的算法是:
我想这些算法大家都应该是耳熟能详了,对于这样一个链表,查找、删除、插入一个元素的时间复杂度都是O(n)。
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好,下面我们正式开始介绍跳表。跳表是个概率性数据结构,可以被看作是二叉树的一个变种。跳表是由William Pugh在1990年发明的。它是一种用户维护有序元素的数据结构。
跳表的构造过程是:
1、给定一个有序的链表。
2、选择连表中最大和最小的元素,然后从其他元素中按照一定算法随即选出一些元素,将这些元素组成有序链表。这个新的链表称为一层,原链表称为其下一层。
3、为刚选出的每个元素添加一个指针域,这个指针指向下一层中值同自己相等的元素。Top指针指向该层首元素
4、重复2、3步,直到不再能选择出除最大最小元素以外的元素。
一个跳表,应该具有以下特征:
- 一个跳表应该有几个层(level)组成;
- 跳表的第一层包含所有的元素;
- 每一层都是一个有序的链表;
- 如果元素x出现在第i层,则所有比i小的层都包含x;
- 第i层的元素通过一个down指针指向下一层拥有相同值的元素;
- 在每一层中,-1和1两个元素都出现(分别表示INT_MIN和INT_MAX);
- Top指针指向最高层的第一个元素。
让我们用一个跳表来重新构建文章开头的有序链表:
通过图我们可以看出,整个跳表分为三层,每一层都是一个有序链表,第一层包含所有的元素。top指针指向最高层的-1元素,较高层的元素都能在较低的层里找到,并且较高层的元素含有一个指针指向下一层值相同的元素。
上面的特征和图基本就给出了一个跳表的定义和结构。至于哪些元素应该再更高一层中保留,我们会在下面叙述。
在结构清晰之后,我们需要明白的是跳表为什么要这样设计?这么存储的好处是什么呢?让我们通过对跳表操作来寻找答案。
首先是查找操作。在跳表中查找一个元素x的算法如下:
接着是插入算法。假设要插入一个元素“119”,我们设定需要插入该元素的层数为“k”(即我们需要在所有的[1,k]范围内的层里都插入元素。k的值我们会在下文中叙述),则插入算法是:
最后是删除操作。删除一个元素x,如果x被删除后某层只剩下头尾两个节点,则删除这一层。具体算法如下:
好了,我们可以看到,无论查找、插入、删除,跳表的时间复杂度都是O(lgn)!这就是为什么我们要引入跳表。
最后,让我们来阐述哪些元素应该在上一层保留,以及插入操作时确定插入元素的层数k。
哪些元素应该在高层保留,是随机决定的。具体算法如下:
看明白了么?也就是从第一层随机选出一些元素放到第二层,再从第二层随机选出元素放到第三层,以此类推,知道没有元素再被选出。插入操作时被插入元素的层数也是这么得来的。
本文参考资料:http://www.kernelchina.org/algorithm/SL.ppt
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