两个有意思的计算机相关的智力题

1. 亮灯问题：

   现有100盏灯，编号1到100。每盏灯都有一个开关，开始时，100盏灯全部关闭。

   做如下操作：

    <1> . 第1次，按下所有编号是1 的倍数的灯的开关；

   <2> . 第2次，按下所有编号是 2 的倍数的灯的开关；

   <3> . 第3次，按下所有编号是 3 的倍数的灯的开关；

                       ……………………

   <n> . 第n次，按下所有编号是 n 的倍数的灯的开关；

                      …………………………

<100> . 第100次，按下所有编号是 100 的倍数的灯的开关。

问： 经过上述操作后， 总有几盏灯在亮， 他们的编号分别是？？？

分析： 每盏灯开始都是关着的，最后亮着的那盏的肯定是开关被按下了奇数次。

         而对于每盏灯，都在什么时候灯的开关被按下呢？ 

        显然有上述操作可见，该灯的编号是次数的倍数时该灯被的开关被按下。

        反过来，也就是 次数是该灯编号的约数时，该灯的开关被按下。

上述，问题转化，为求灯编号的约数的个数的问题， 

     而亮灯问题转化为灯的编号的约数的个数为奇数的问题。

看到这里，我们学计算机的同学，都禁不住的，要通过编程解决该问题，

我开始也是这样想，也是这样做的。能不能多想一步，灵机一动，不用编程，就能解决呢？

先看一下，怎样通过编程，解决该问题？ 更巧妙方法，稍后介绍。（也许编程都的结果，会对你有所启发^o^）.(有点像启发式思维，有木有，，，)

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>int main(int argc, char *argv[]) {    int i;    int j;    int count; //统计约数的个数；    int n = 0; //统计亮灯的总数；    printf("亮灯的编号是：");    for(i = 1; i <= 100; ++i) {        count = 0;        for(j = 1; j<=i; ++j){            if(i % j == 0) ++count;        }        if(count % 2) {            printf("%d ", i);            ++n;        }    }    printf("\n所有亮着的灯的个数是：%d", n);    return 0;}

运算结果：

看到上述结果，如果你只打印亮灯的个数，也许你没有发现什么，但是亮灯的编号好像看起来有规律呀（是的有规律的）。

更巧妙的解决甚至不用动笔：

前面提到上述亮灯问题等价于求约数个数为奇数的灯的编号。

一个数的约数个数为奇数，这个数有什么特征呢？

我们知道，一个数的约数总是成对存在的。

而一个数的约数的个数为奇数，说明该数一个成对的约数等于同一个数。

即该数是一个数的平方，即该数是一个平方数。

上述问问题： 亮灯问题=》灯的编号的约数为奇数个=》该等的编号是一个平方数。

而 1到100中，平方数有 1^2 = 1, 2^2 = 4, 3^2 = 9, 4^2 = 16, 5^2 = 25,

                                             6^2 = 36, 7^2= 49, 8^2 = 64 9^2 = 81, 10^2 = 100.

故，1到100中有10个平方数 ，亮灯的编号都是这些平方数。

（该题目出自，某不知名培训机构的测试题中）

2. 余数问题：

        有这样一个三位数， 被5余4，被6除余5，被7除余6， 求这个三位数。

 

分析： <1>. 编程解决，计算机最擅长这个，穷举呗。

             <2>. 是否有更好的方法。

编程方案：

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>int main(){    int i;    int count = 0;    for(i = 0; i < 1000; ++i) {        if(i % 5== 4 && i % 6 == 5 && i % 7 == 6){            printf("%d, ", i);            ++count;        }    }    printf("\n共有%d个。", count);    return 0;}

计算机结果：

<2>更好方法：不妨令该数为n，有题设可知， n+1 能别 5， 6， 7 同时整除。

n+1 = 5 * 6 *7  *k; (k为整数）

且n+1 为一个三位数，则 100<=n+1 < 1000.

即 100< =210*k < 1000.

所以k= 1, 2, 3, 4, 对应的n为 209， 419， 629，839 。

如果不通过形式化的列举，往往会漏解。说的是三位数，而不是最小的三位数。

可见，形式化的重要性。将问题形式化，能够更好的解决问题。（学学抽象数学，还是哟必要的）。

（该题出现在某知名杀毒软件的笔试题中）。