哈密顿路问题

对于一个图中是否存在一条哈密顿路，没有可靠的充分必要条件（貌似邻接矩阵恒式可以？），因此求哈密顿路是一个NP问题，一般要使用搜索和状压dp求解，但汉密尔顿回路的存在有许多充分条件，即当图满足某些特定性质的时候，汉密尔顿回路一定存在，而且可以根据一些算法构造出来。

1.Dirac定理：设一个无向图中有 N 个节点，若所有节点的度数都大于等于 N/2，则汉密尔顿回路一定存在。

（“N/2” 中的除法不是整除，而是实数除法，该条件中的 “N/2” 等价于 “⌈N/2⌉”）

证明：首先可以证明图一定是连通的。设 d(v) 表示节点 v 的度数。对于任意两个节点 u、 v，若它们不相邻，则可能和它们相邻的节点共有 N - 2 个，而 d(u) + d(v) ≥ N/2 + N/2 ≥ N，那么根据鸽巢原理，肯定存在一个节点与 u 和 v 都相邻。即证，任何两个节点之间都是连通的。

构造方法：

1. 任意找两个相邻的节点 S 和 T，在它们基础上扩展出一条尽量长的没有重复节点的路径。也就是说，如果 S 与节点 v 相邻，而且 v 不在路径 S → T 上，则可以把该路径变成 v → S → T，然后 v 成为新的 S。从 S 和 T 分别向两头扩展，直到无法扩为止，即所有与 S 或 T 相邻的节点都在路径 S → T 上。

2. 若 S 与 T 相邻，则路径 S → T 形成了一个回路。

3. 若 S 与 T 不相邻，可以构造出一个回路。设路径 S → T 上有 k + 2 个节点，依次为 S、 v1、 v2…… vk  和 T。可以证明存在节点 vi， i ∈ [1, k)，满足 vi 与 T 相邻，且 vi+1与 S 相邻。证明方法也是根据鸽巢原理，既然与 S 和 T 相邻的点都在该路径上，它们分布的范围只有 v1 ∼ vk 这 k 个点， k ≤ N - 2，而 d(S) + d(T) ≥ N，那么可以想像，肯定存在一个与 S 相邻的点 vi 和一个与 T 相邻的点 vj， 满足 j < i。那么上面的命题也就显然成立了。找到了满足条件的节点 vi 以后，就可以把原路径变成 S → vi+1 → T → vi → S，即形成了一个回路。

4. 现在我们有了一个没有重复节点的回路。如果它的长度为 N，则汉密尔顿回路就找到了。如果回路的长度小于 N，由于整个图是连通的，所以在该回路上，一定存在一点与回路以外的点相邻。那么从该点处把回路断开，就变回了一条路径。再按照步骤1的方法尽量扩展路径，则一定有新的节点被加进来。接着回到步骤 2。

    在整个构造过程中，如果说每次到步骤 4 算是一轮的话，那么由于每一轮当中，至少有一个节点被加入到路径 S → T 中来，所以总的轮数肯定不超过 N 轮。实际上，不难看出该算法的复杂度就是 O(N^2)，因为总共扩展了 N 步路径，每步扩展最多枚举所有的节点。

2.竞赛图：n(n>=2)阶竞赛图一定存在哈密顿通路

证明：对n作归纳法。n=2时，D的基图为K₂，结论成立。设n=k时结论成立。现在设n=k+1.设V(D)={v₁,v₂,…,v_k,v_k+1}。令D₁=D-v_k+1，易知D₁为k阶竞赛图，由归纳假设可知，D₁存在哈密顿通路，设Г₁=v'₁v'₂…v'_k为其中一条。下面证明v_k+1可扩到Г₁中去。若存在v'_r（1≤r≤k），有<v'_i,v_k+1>∈E(D)，i=1,2,…,r-1，而<v_k+1,v'_r>∈E(D)，见图（1）所示，则Г=v'₁v'₂…v'_r-1v_k+1v'_r…v'_k为D中哈密顿通路。否则，i∈{1,2,…,k}，均有<v'_i,v_k+1>∈E(D)，见下图所示，则Г=Г'∪<v'_k,v_k+1>为D中哈密顿通路。

构造：可以依次从1~N遍历所有的点。当v=1时成立。之后根据上述定理，每次循环开始时都维持着一条哈密顿路，直到循环结束。具体实现可以用链表来模拟。

poj 1776 Task Sequences构造哈密顿通路

boolean map[][] = new boolean[maxn][maxn];int nxt[]=new int[maxn],ans[]=new int[maxn];void solve(int n){Arrays.fill(nxt, -1);int h=1;for(int i=2;i<=n;i++)if(map[i][h]){nxt[i]=h;h=i;}else{int pre=h,pos=nxt[h];while(pos!=-1&&!map[i][pos]){pre=pos;pos=nxt[pos];}nxt[pre]=i;nxt[i]=pos;}int cnt=0;for(int i=h;i!=-1;i=nxt[i])ans[++cnt]=i;}void run() throws IOException{while(in.nextToken()!=in.TT_EOF){int n=(int)in.nval;for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)map[i][j]=(nextInt()==1);solve(n);System.out.println("1\n"+n);for(int i=1;i<n;i++)System.out.print(ans[i]+" ");System.out.println(ans[n]);}}

判断哈密顿圈只需枚举起点，将构造方法稍作改动（注意只有一个点时特判），显然竞赛图有哈密顿通路不一定有哈密顿回路。

hdu 3414 Tour Route 构造哈密顿回路

boolean map[][] = new boolean[maxn][maxn];int nxt[] = new int[maxn], ans[] = new int[maxn];void solve(int start, int n) {Arrays.fill(nxt, -1);int h = start;for (int i = 1; i <= n; i++){if(i==start)continue;if (map[i][h]) {nxt[i] = h;h = i;} else {int pre = h, pos = nxt[h];while (pos != -1 && !map[i][pos]) {pre = pos;pos = nxt[pos];}nxt[pre] = i;nxt[i] = pos;}}int cnt = 0;for (int i = h; i != -1; i = nxt[i])ans[++cnt] = i;}void run() throws IOException {while (true) {int n = nextInt();if(n==0)break;for (int i = 1; i <= n; i++)for (int j = 1; j <= n; j++)map[i][j] = (nextInt() == 1);if(n==1){System.out.println(1);continue;}boolean flag=true;for (int k = 1; k <= n; k++) {solve(k,n);if(!map[ans[n]][ans[1]])continue;for (int i = 1; i < n; i++)System.out.print(ans[i] + " ");System.out.println(ans[n]);flag=false;break;}if(flag)System.out.println(-1);}}

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