并查集

                                                                                                                  并查集

1定义：一种简单的用途广泛的集合.并查集是若干个不相交集合，能够实现较快的合并和判断元素所在集合的操作，应用很多，如其求无向图的连通分量个数等。最完美的应用当属：实现Kruskar算法求最小生成树

2并查集的三种操作：

       1Init_Set(x)把每一个元素初始化为一个集合

       初始化后每一个元素的父亲节点是它本身，每一个元素的祖先节点也是它本身。

       2Find_Set(x)查找一个元素所在的集合

          1查找一个元素所在的集合，其精髓是找到这个元素所在的集合的祖先！这个才是并查集判断和合并的最终依据。

          2判断两个元素是否属于同一个集合（判断是否属于同一个连通分量），只要看它们所在的集合祖先是否相同即可

          3合并两个集合，也是使一个集合的祖先成为另一个集合的祖先。

      3 Union(x , y)合并x y所在的两个集合

          利用Find_Set()找到两个集合的祖先，将一个集合的祖先指向另一个集合的祖先：

4并查集的优化：

    1Find_Set(x)时路径压缩

       1寻找祖先时我们一般采用迭代查找，但是当元素很多亦或是整颗树变成一条链的时候，每次的Find的复杂度都是O(n)的复杂度，有没有办法减少这个复杂度呢。

       2那么这就是路径压缩，即当我们经过“递推”找到祖先节点后，再一次迭代顺便把子孙的节点直接指向祖先，这样以后的查找就是O(1).

    2Union()时候将小树合并到大树上面

4并查集的模板：

#include<iostream>#include<algorithm>#include<cstdio>#include<cstring>using namespace std;#define MAXN 1010int father[MAXN];/*存储节点的父亲节点*/int rank[MAXN];/*rank数组用来标识哪一个是大树*//*并查集的初始化*/void init_Set(){     for(int i = 0 ; i < MAXN ; i++){/*这里一定要把所有的节点都初始化为本身*/        father[i] = i;        rank[i] = 0;/* 初始化为0*/     }}/*迭代查找*/int Find_Set(int x){    if(x != father[x])        father[x] = find_Set(father[x]);    return father[x]; }/*集合的合并*/void  Union_Set(int x ,int y){     int root_x = Find_Set(x);     int root_y = Find_Set(y);     if(rank[root_x] > rank[root_y])        father[root_y] = root_x;/*把小树合并到大树*/     else{/*说明root_x不可能是大树，让root_x合并到root_y*/        if(rank[root_x] == rank[root_y])           rank[root_y]++;        father[root_x] = root_y;     } }int main(){    return 0;}

带权并查集：

                  1 所谓的带权，我的理解是根节点和儿子节点之间的关系不再是那种单纯的所属关系，而是增加了一个权值来表示他们之间的特殊关系。比如距离就可以作为权值，在带权并查集里，需要注意的是。首先，rank数组不再表示哪一个是大树，而是表示某个节点到根节点的权值。第二在路径压缩的过程中需要利用递归的思想把路径上的点的rank值进行更新。最后就是合并的时候，不再是按照rank大的，而是统一一个方向合并，比如右边统一合并到左边。

                   2  经常利用权值为0表示两个元素的关系是相同类型，权值为1表示两个元素关系是不同的类型。所以要用到mod 2等（其它还有mod 3的情况等等）

                   3 注意只要涉及到两个rank相减的时候，都有可能变成负数，比如要加上一个数mod 2时候加2再mod 2....

                                4 带权并查集要注意，最后应该使得所有的路径都要压缩到根节点上面

模板(举例mod 2)：

#include<iostream>#include<algorithm>#include<cstdio>#include<cstring>using namespace std;#define MAXN 100010int t , n , m;int father[MAXN];int rank[MAXN];/*初始化并查集*/void init_Set(){    for(int i = 1 ; i <= n ; i++){       father[i] = i;       rank[i] = 0;    }}/*并查集的查找*/int find_Set(int x){    if(father[x] != x){        /*递归更新rank*/        int tmp = father[x];        father[x] = find_Set(tmp);/*递归找到根节点，把路径上的所有点都指向根节点，起到压缩的作用*/        rank[x] += rank[tmp];/*从上往下更新每一个节点的rank值，记住这里是tmp而不是father[x]，因为father[x]都指向根节点了。*/        rank[x] %= 2;     }    return father[x];}/*并查集的合并*/void union_Set(int a , int b , int x){     int root_a = find_Set(a);     int root_b = find_Set(b);     father[root_b] = root_a;/*把右边合并到右边*/     rank[root_b] = rank[a]+x-rank[b]+2;/*更新root_b到根节点的权值，x是a->b的权值,加上2防止值为负数的情况*/     rank[root_b] %= 2; }int main(){    return 0;}