数论总结1

费马小定理： 假如p是质数，且(a,p)=1，那么 a^(p-1) ≡1（mod p） 假如p是质数，且a,p互质，那么 a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。该定理的逆否命题也成立,即a^(n-1)mod n!=1,则n为合数.但是费马定律的逆命题就不一定成立了,比如当a=4,n=15时,4^14mod15=1,但是4不是素数而是合数.

快速模取幂

    数论计算中经常出现的一种运算就是求一个数的幂a^b对另外一个数n个模的运算，即计算:

a^b mod n (a,b,n是正整数)

    由于计算机只能表示有限位的整数，所以编程时模取幂的运算要注意值的大小范围，当a^b的值超过整数范围时,mod运算便无法进行。

    如何解决这个问题，我们引出一个能计算a^b mod n的值的有用算法——反复平方法，首先我们必须明确：

d=a^b mod n=(…((((a mod n)*a)mod n)*a)mod n…*a)mod n    {共b个a}

    由此可以引出一个迭代式

         d:=a;

         for i:=2 to b do

            d:=d mod n*a;

         d:=d mod n;

    时间复杂度为O（b），当b很大时，效率很低。我们可以将b转换为二进制数<b_k,b_k-1,...,b₁,b₀>,然后从最低位b₀开始，由右至左逐位扫描，每次迭代时，用到下面两个恒等式：

a mod n =(a^c)² mod n      b_i=0            

a⁺¹ mod n =a*(a^c)² mod n   b_i=1 (0<=c<=b)

    其中c为b的二进制数的后缀（b_i-1...b₀）对应的十进制数，当c成倍增加时，算法保持d=a^c mod n不变，直至c=b。

     程序实现可如下：

long long result(long long a,long long b,long long m)
{
    long long d,t;

    d=1;
    t=a;
    while (b>0)
    {
        if (b%2==1)
            d=(d*t)%m;
        b/=2;
        t=(t*t)%m;
    }

    return d;
}

米勒-拉宾算法：快速判断一个数是不是素数

要测试 N 是否为质数，首先将 N-1分解为 2^s d。在每次测试开始时，先随机选一个 介于 【1, n-1】的整数 a，之后如果对所有的 r \in 【0, s-1】，若a^d \mod N 不等于1  且  a^((2^r)*d) mod N不等于 -1，则 N 是合数。否则，N 有 3/4 的机率为质数。

算法模板：

1. #include <iostream>  
2.   
3. using namespace std;  
4.   
5. int fmod(int a, int b, int c)//快速模取幂  
6. {  
7.     if(b == 1) return a;  
8.     int t = fmod(a, b / 2, c);  
9.     t = (t * t) % c;  
10.     if(b & 1) t = (t * a) % c;  
11.     return t;  
12. }  
13.   
14. int check(int n)//米勒-拉宾算法  
15. {  
16.     srand(time(0));  
17.     for(int i = 0; i < 100; ++ i)  
18.     {  
19.         if(fmod(rand() % (n - 1) + 1, n - 1, n) != 1)//a的值需要变化，所以用到随机函数；a的取值为[1,n-1]，因为这样就会保证如果n为素数，则n与a必互质  
20.             return 0;  
21.     }  
22.     return 1;  
23. }