所有数字出现的机会都相等吗？

本月的数学智力题需要好好我们探讨一番。以下是我们可以尝试的一些步骤。首先，我们需要为此收集大量数据，以便和全班乃至全校的同学来一起研究这个问题。

• 从手边拿一本书。随便翻出一页并记下页码。拿另一本书随手翻到任意一页。记下该页上的第一个数字。如此这样多拿些书，直到记录了 100 或 100个以上的页码。
• 找一家商店，记录 100 或 100 个以上东西的价钱。具体找什么样的商店都可以。网上商店也可以，只要记录下其提供的各种产品的价钱就行。
• 获得班上所有人的住址。此外，还可以让他们写出他人的地址，直到收集到 100 或 100 个以上的地址。
• 收集国内 100 或 100 个以上的最大城镇的人口数量。然后将其记录下来。

对于每组数据而言，有些数字是以 1 开头的，有些是以 2 开头的，有些是以 3 开头的，不一而足。你认为在从 1 到 9 这 9 个数字中，它们在开头出现的机会是都相等，还是某个数字更高呢？

现在统计一下各组数据中每个数字出现的次数。结果是不是有点让人吃惊？你能对此给出一个解释吗？

自己先试试，然后再查看我们的解答。

所有数字出现的机会都相等吗？

这是我们搜集的一些数据和发现的规律：

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  搜索的数字 出现次数 1 1,840,000,000 2 1,540,000,000 3 1,300,000,000 4 1,160,000,000 5 1,180,000,000 6 949,000,000 7 901,000,000 8 689,000,000 9 801,000,000

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  我们到 addresses.com 网站查找美国所有名叫 M Smith 的人的地址，Smith 这个名字在美国很常见。前一百个地址中有 32 个以数字 1 开头。
• 在列出世界上 156 条最长的河流的网站中，我们发现其中 95 条长度的公里数从 1 开始。
• 我们查阅化学和物理手册上列出的所有元素的原子质量表。其中包括许多元素的多种同位素共有 346 条。这其中有 164 个以 1 开头。
• 我们在 Google 的搜索窗口中输入“ 1”来搜索 1。即在 1 前面放一个空格，在用引号引起来。这将挑选出包含以 1 开头的数字的短语。我们还按此方法搜索了其他数字。结果如下表所示。
  

起始数字的分布不是随机的。在许多情况下，数字 1 比其他数字出现的机会更多。

这不适用于真正的随机现象。例如，找 9 个乒乓球，在球上面依次标上 1 到 9。把这些球放进袋子里。拣出一个球并记下球上的数字。把这个球放回袋中，然后抖抖袋子再选。在多次操作之后，就会发现不同数字出现的次数是相等的。这些 数据是我们从真实生活中收集的，显然它们不是随机的。

这种现象被称为班佛德 (Benford) 法则，也叫第一数字法则、第一数字现象或者先导数字现象。

根据 MathWorld 的介绍，起始数字（十进制） D 出现的概率可通过以下对数分布等式给出
        P_D = log₁₀ (1 + 1 / D)

感谢MathWorld提供相应图表

 

那么，究竟为什么是这样呢？