常用算法

一、快速排序

void qsort(int x,int y) //待排序的数据存放在a[1]..a[n]数组中

  {int h=x,r=y;

   int m=a[(x+y)>>1]; //取中间的那个位置的值

   while(h<r)

{while (a[h]<m) h++; //比中间那个位置的值小，循环直到找一个比中间那个值大的

      while (a[r]>m) r--; //比中间那个位置的值大，循环直到找一个比中间那个值小的

      if(h<=r)

{int temp=a[h];//如果此时h<=r，交换a[h]和a[r]

         a[h]=a[r];

         a[r]=temp;

         h++;r--; //这两句必不可少哦

}

}

     if(r>x) qsort(x,r);//注意此处，尾指针跑到前半部分了

     if(h<y) qsort(h,y); //注意此处，头指针跑到后半部分了

}

调用：qsort(1,n)即可实现数组a中元素有序。适用于n比较大的排序

二、冒泡排序

void paopao(void) //待排序的数据存放在a[1]..a[n]数组中

{for(int i=1;i<n;i++)  //控制循环（冒泡）的次数，n个数，需要n-1次冒泡

  for(int j=1;j<=n-i;j++) //相邻的两两比较

    if(a[j]<a[j+1]) {int temp=a[j];a[j]=a[j+1];a[j+1]=temp;}

}

或者

void paopao(void) //待排序的数据存放在a[1]..a[n]数组中

{for(int i=1;i<n;i++)  //控制循环（冒泡）的次数，n个数，需要n-1次冒泡

  for(int j=n-i;j>=1;j--) //相邻的两两比较

    if(a[j]<a[j+1]) {int temp=a[j];a[j]=a[j+1];a[j+1]=temp;}

}

调用：paopao()，适用于n比较小的排序

三、桶排序

void bucketsort(void)//a的取值范围已知。如a<=cmax。

{memset(tong,0,sizeof(tong));//桶初始化

for(int i=1;i<=n;i++)//读入n个数

    {int a

cin>>a;

tong[a]++;}//相应的桶号计数器加1

  for(int i=1;i<=cmax;i++)

  {if(tong[i]>0) //当桶中装的树大于0，说明i出现过tong[i]次，否则没出现过i

     while (tong[i]!=0)

       {tong[i]--;

cout<<i<<’ ‘;}

}

}

桶排序适用于那些待排序的关键字的值在已知范围的排序。

四、合（归）并排序

void merge(int l,int m,int r)//合并[l,m]和[m+1,r]两个已经有序的区间

{ int b[101];//借助一个新的数组B，使两个有序的子区间合并成一个有序的区间，b数组的大小要注意

  int h,t,k;

  k=0;//用于新数组B的指针

  h=l;t=m+1;//让h指向第一个区间的第一个元素，t指向第二个区间的第一个元素。

  while((h<=m)&&(t<=r))//在指针h和t没有到区间尾时，把两个区间的元素抄在新数组中

    {k++;       //新数组指针加1

     if (a[h]<a[t]){b[k]=a[h];h++;}       //抄第一个区间元素到新数组

     else{b[k]=a[t];t++;}   //抄第二个区间元素到新数组

    }

  while(h<=m){k++;b[k]=a[h];h++;}  //如果第一个区间没有抄结束，把剩下的抄在新数组中

while(t<=r){k++;b[k]=a[t];t++;} //如果第二个区间没有抄结束，把剩下的抄在新数组中

  for(int o=1;o<=k;o++)//把新数组中的元素，再抄回原来的区间，这两个连续的区间变为有序的区间。

a[l+o-1]=b[o];

}

void mergesort(int x,int y)//对区间[x,y]进行二路归并排序

{

  int mid;

  if(x>=y) return;

  mid=(x+y)/2;//求[x,y]区间，中间的那个点mid,mid把x,y区间一分为二

  mergesort(x,mid);//对前一段进行二路归并

  mergesort(mid+1,y);//对后一段进行二路归并

  merge(x,mid,y);//把已经有序的前后两段进行合并

}

归并排序应用了分治思想，把一个大问题，变成两个小问题。二分是分治的思想。

五、二分查找

int find(int x,int y,int m) //在[x,y]区间查找关键字等于m的元素下标

{ int head,tail,mid;

  head=x;tail=y;mid=((x+y)/2);//取中间元素下标

  if(a[mid]==m) return mid;//如果中间元素值为m返回中间元素下标mid

  if(head>tail) return 0;//如果x>y，查找失败，返回0

  if(m>a[mid])  //如果m比中间元素大，在后半区间查找，返回后半区间查找结果

    return find(mid+1,tail);

  else //如果m比中间元素小，在前半区间查找，返回后前区间查找结果

    return find(head,mid-1);

}

六、高精度加法

#include<iostream>

#include<cstring>

using namespace std;

int main()

{

  string str1,str2;

  int a[250],b[250],len;   //数组的大小决定了计算的高精度最大位数

  int i;

  memset(a,0,sizeof(a));

  memset(b,0,sizeof(b));

  cin>>str1>>str2;   //输入两个字符串

  a[0]=str1.length();  //取得第一个字符串的长度

  for(i=1;i<=a[0];i++)  //把第一个字符串转换为整数，存放在数组a中

    a[i]=str1[a[0]-i]-'0';

  b[0]=str2.length();   //取得第二个字符串长度

  for(i=1;i<=b[0];i++)   //把第二个字符串中的每一位转换为整数，存放在数组B中

    b[i]=str2[b[0]-i]-'0';

  len=(a[0]>b[0]?a[0]:b[0]);   //取两个字符串最大的长度

  for(i=1;i<=len;i++)   //做按位加法，同时处理进位

  {

    a[i]+=b[i];

    a[i+1]+=a[i]/10;

    a[i]%=10;  

  }

  len++;    //下面是去掉最高位的0，然后输出。

  while((a[len]==0)&&(len>1)) len--;

  for(i=len;i>=1;i--)

    cout<<a[i];

  return 0;

}

注意：两个数相加，结果的位数，应该比两个数中大的那个数多一位。

七、高精度减法

#include<iostream>

using namespace std;

int compare(string s1,string s2);

int main()

{

  string str1,str2;

  int a[250],b[250],len;

  int i;

  memset(a,0,sizeof(a));

  memset(b,0,sizeof(b));

  cin>>str1>>str2;

  a[0]=str1.length();

  for(i=1;i<=a[0];i++)

    a[i]=str1[a[0]-i]-'0';

  b[0]=str2.length();

  for(i=1;i<=b[0];i++)

    b[i]=str2[b[0]-i]-'0';

  if((compare(str1,str2))==0)  //大于等于，做按位减，并处理借位。

  {

    for(i=1;i<=a[0];i++)

      {a[i]-=b[i];

       if (a[i]<0) {a[i+1]--;a[i]+=10;}

      }

    a[0]++;

    while((a[a[0]]==0)&&(a[0]>1)) a[0]--;

    for(i=a[0];i>=1;i--)

      cout<<a[i];

    cout<<endl;

  }                         

  else

  {

    cout<<'-';  //小于就输出负号

    for(i=1;i<=b[0];i++)  //做按位减，大的减小的

      {b[i]-=a[i];

       if (b[i]<0) {b[i+1]--;b[i]+=10;}

      }

    b[0]++;

    while((b[b[0]]==0)&&(b[0]>1)) b[0]--;

    for(i=b[0];i>=1;i--)

      cout<<b[i];

    cout<<endl;       

  }

  return 0;

}

int compare(string s1,string s2)  //比较字符串（两个数）数字的大小，大于等于返回0，小于返回1。

{

  if(s1.length()>s2.length()) return 0;  //先比较长度，哪个字符串长，对应的那个数就大

  if(s1.length()<s2.length()) return 1;

  for(int i=0;i<=s1.length();i++)  //长度相同时，就一位一位比较。

  {

    if(s1[i]>s2[i]) return 0;

    if(s1[i]<s2[i]) return 1;                         

  }

  return 0;   //如果长度相同，每一位也一样，就返回0，说明相等

}

做减法时，首先要判断两个字符串的大小，决定是否输出负号，然后就是按位减法，注意处理借位。

八、高精度乘法

#include<iostream>

#include<cstring>

using namespace std;

int main()

{

  string str1,str2;

  int a[250],b[250],c[500],len;    //250位以内的两个数相乘

  int i,j;

  memset(a,0,sizeof(a));

  memset(b,0,sizeof(b));

  cin>>str1>>str2;

  a[0]=str1.length();

  for(i=1;i<=a[0];i++)

    a[i]=str1[a[0]-i]-'0';

  b[0]=str2.length();

  for(i=1;i<=b[0];i++)

    b[i]=str2[b[0]-i]-'0';

  memset(c,0,sizeof(c));

  for(i=1;i<=a[0];i++)   //做按位乘法同时处理进位，注意循环内语句的写法。

    for(j=1;j<=b[0];j++)

    {

    c[i+j-1]+=a[i]*b[j];

    c[i+j]+=c[i+j-1]/10;

    c[i+j-1]%=10;  

    }

  len=a[0]+b[0]+1;  //去掉最高位的0，然后输出

  while((c[len]==0)&&(len>1)) len--;   //为什么此处要len>1??

  for(i=len;i>=1;i--)

    cout<<c[i];

  return 0;

}

注意：两个数相乘，结果的位数应该是这两个数的位数和减1或是两个数的位数和。

优化：万进制

#include<iostream>

#include<cstring>

using namespace std;

void num1(int s[],string st1);

int a[2501],b[2501],c[5002];//此处可以进行2500位万进制乘法，即10000位十进制乘法。

Int main()

{ 

    string str1,str2;

    int len;

    cin>>str1>>str2;

    memset(a,0,sizeof(a));

    memset(b,0,sizeof(b));

    memset(c,0,sizeof(c));

    num1(a,str1); //把str1从最低位开始，每4位存放在数组a中

    num1(b,str2); //把str2从最低位开始，每4位存放在数组b中

    for(int i=1;i<=a[0];i++) //作按位乘法并处理进位，此处是万进制进位

      for(int j=1;j<=b[0];j++)

        {

          c[i+j-1]+=a[i]*b[j];

          c[i+j]+=c[i+j-1]/10000;

          c[i+j-1]%=10000;

        }

    len=a[0]+b[0];//a[0]和b[0]存放的是每个数按4位处理的位数

    while ((c[len]==0)&&(len>1)) len--;//去掉高位的0，并输出最高位

      cout<<c[len];

    for(int i=len-1;i>=1;i--)//把剩下来的每一位还原成4位输出

      {

        if (c[i]<1000) cout<<’0’;

        if (c[i]<100) cout<<’0’;

        if (c[i]<10) cout<<’0’;       

        cout<<c[i];

      }

    cout<<endl;

    return 0;

}

void num1(int s[],string st1)//此函数的作用就是把字符串st1，按4位一组存放在数组s中

{   int k=1,count=1;

    s[0]=st1.length();//存放st1的长度，省去一长度变量

    for(int i=s[0]-1;i>=0;i--) //从最低位开始，处理每一位

    { if (count%4==0) {s[k]+=(st1[i]-‘0’)*1000; if(i!=0) k++;}

      if (count%4==1) s[k]=(st1[i]-‘0’);

      if (count%4==2) s[k]+=(st1[i]-‘0’)*10;

      if (count%4==3) s[k]+=(st1[i]-‘0’)*100;

      count++;

    }

    s[0]=k; //存放数组的位数，就是按4位处理后的万进制数的位数。 

    Return;

}

九、高精度除法（没讲）

十、筛选法建立素数表

void maketable(int x)//建立X以内的素数表prim，prim[i]为0，表示i为素数，为1表示不是质数

{

memset(prim,0,sizeof(prim));//初始化质数表

prim[0]=1;prim[1]=1;prim[2]=0;//用筛选法求X以内的质数表

for(int i=2;i<=x;i++)

    if (prim[i]==0)

     {int j=2*i;

      while(j<=x)

       {prim[j]=1;j=j+i;}

}

}

对于那些算法中，经常要判断素数的问题，建立一个素数表，可以达到一劳永逸的目的。

十一、深度优先搜索

void dfs(int x)  \\以图的深度优先遍历为例。

    {

      cout<<x<<‘ ‘; \\访问x顶点

      visited[x]=1; \\作已访问的标记

      for(int k=1;k<=n;k++) \\对与顶点x相邻而又没访问过的结点k进行深度优先搜索。

        if((a[x][k]==1)&&(visited[k]==0))

         dfs(k);

    }

十二、广度优先搜索

void  bfs(void) //按广度优先非递归遍历图G，n个顶点，编号为1..n。注：图不一定是连通的

{//使用辅助队列Q和访问标记数组visited。

    for(v=1;v<=n;v++)  visited[v]=0；//标记数组初始化

    for(v=1; v<=n; v++)

      if(visited[v]==0 ) {        //v尚未访问

         int h=1,r=1;    //置空的辅助队列q

         visited[v]=1；//顶点v,作访问标记

         cout<<v<<‘ ‘; //访问顶点v

         q[r]=v；    //v入队列

         while(h<=r) //当队列非空时循环

{

             int tmp=q[h];  //队头元素出队，并赋值给tmp

             for(int j=1;j<=n;j++)

               if((visited[j]==0)&&(a[tmp][j]==1))

{//j为tmp的尚未访问的邻接顶点

                    visited[j]=1;  对j作访问标记

                    cout<<j<<‘ ‘; 访问j

                    r++; //队尾指针加1

q[r]=j; //j入队

}  //end-if

             h++;

           }//end -while

}

十三、二叉树的前序、中序和后序遍历

void preorder(int x)//二叉树的先序遍历

{

   if(x==0) return;

   cout<<x;//先访问根

   preorder(a[x].ld);//再先序遍历根的左子树

   preorder(a[x].rd);//最后先序遍历根的右子树

}

void inorder(int x)//二叉树的中序遍历

{

   if(x==0) return;

   preorder(a[x].ld);//先中序遍历根的左子树

   cout<<x;//再访问根

   preorder(a[x].rd);//最后中序遍历根的右子树

}

void reorder(int x)//二叉树的后序遍历

{

   if(x==0) return;

   preorder(a[x].ld);//先后序遍历根的左子树

   preorder(a[x].rd);//再后序遍历根的右子树

   cout<<x;//最后访问根

}

十四、树转换为二叉树算法

十五、二叉排序树

十六、哈夫曼树

void haff(void) //构建哈夫曼树

{

   for(int i=n+1;i<=2*n-1;i++) //依次生成n-1个结点

     {int l=fmin(i-1); //查找权值最小的结点的编号l

       a[i].lchild=l; //把l作为结点i的左孩子

       a[l].father=i; //把l的父结点修改为i

       int r=fmin(i-1); //查找次小权值的编号r

       a[i].rchild=r; //把l作为结点i的右孩子

       a[r].father=i; //把r的父结点修改为i

       a[i].da=a[l].da+a[r].da; //合并l,j结点，生成新结点i

     }

}

int fmin(int k)//在1到K中寻找最小的权值的编号

       {

         int mins=0;

         for(int s=1;s<=k;s++)

           if((a[mins].da>a[s].da)&&(a[s].father==0)) //a[s].father=0,说明这个结点还不是别个结点

mins=s;                           //的孩子，不等于0说明这个结点已经用过。

         return mins;

       }

void inorder(int x)//递归生成哈夫曼编码

{

  if(a[x].father==0) {a[x].code=”“;}//根结点

  if(a[a[x].father].lchild==x)  a[x].code=a[a[x].father].code+'0';

  if(a[a[x].father].rchild==x)  a[x].code=a[a[x].father].code+'1';

  if(a[x].lchild!=0) inorder(a[x].lchild);//递归生成左子树

  if((a[x].lchild==0)&&(a[x].rchild==0))//输出叶子结点

     cout<<a[x].da<<':'<<a[x].code<<endl;

  if(a[x].rchild!=0) inorder(a[x].rchild);//递归生成右子树

}

十七、并查集

int getfather(int x)//非递归求X结点的根结点的编号

{while(x!=father[x])

  x=father[x];

return x;

}

int getfather(int x)//递归求X结点的根结点的编号

{if(x==father[x]) return x;

else return getfather(father[x]);

}

int getfather(int x)//非递归求X结点的根结点编号同时进行路径压缩

{int p=x;

while(p!=father[p])//循环结束后，P即为根结点

   p=father[p];

while(x!=father[x])//从X结点沿X的父结点进行路径压缩

   {int temp=father[x];//暂存X没有修改前的父结点

father[x]=p;//把X的父结点指向P

x=temp;

   }

return p;

}

int getfather(int x)//递归求X结点的根结点编号同时进行路径压缩

{if(x==father[x]) return x;

else {

       int temp=getfather(father[x]);

       father[x]=temp;

       return temp;

}

}

void merge(int x,int y)//合并x,y两个结点

{int x1,x2;

  x1=getfather(x);//取得X的父结点

  x2=getfather(y);//取得Y的父结点

  if(x1!=x2) father[x1]=x2; //两个父结点不同的话就合并，注意：合并的是X，Y两个结点的根。

}

十八、Prime算法

void prime(void) //prim算法求最小生成树，elist[i]是边集数组，a[i][j]为<I,j>的权值。edge为结构体类型。

{for (int i=1;i<=n-1;i++)//初始化结点1到其它n-1个结点形成的边集

   {elist[i].from=1;

elist[i].to=i+1;

elist[i].w=a[1][i+1];

   }

for (int i=1;i<=n-1;i++)//依次确定n-1条边

  {int m=i;

   for(int j=i+1;j<=n-1;j++)//确定第i条边时，依次在i+1至n-1条边中找最小的那条边

     if(elist[j].w<elist[m].w) m=j;

   if(m!=i) //如果最小的边不是第i条边就交换

{edge tmp=elist[i];elist[i]=elist[m];elist[m]=tmp;}

   for(int j=i+1;j<=n-1;j++)//更新第i+1至n-1条边的最小距离。

     {if(elist[j].w>a[elist[i].to][elist[j].to]) elist[j].w=a[elist[i].to][elist[j].to];}

}                           

for(int i=1;i<=n-1;i++)//求最小生成树的值

ans=ans+elist[i].w;

}                      

如果要求出哪些边构成最小生成树，在更新第i+1至n-1条边到已经生成的树中最小距离时(上面代码中加粗的部分)，还要加上elist[j].from=elist[i].to;语句，即在更新权值时，还应该更新起点。

Prime算法适用于顶点不是太多的稠密图，如果对于顶点数较多的稀疏图，就不太适用了。

十九、Dijkstra算法

void dijkstra(int x)  //求结点x到各个结点的最短路径

{

memset(vis,0,sizeof(vis)); //初始化，vis[i]＝0表示源点到结点i未求，否则已求

vis[x]=1;pre[x]=0; //初始化源点。

for(int i=1;i<=n;i++)   //对其它各点初始化。

    if(i!=x)

{

dis[i]=g[x][i];

pre[i]=x;

}

for(int i=1;i<=n-1;i++)   //对于n个结点的图，要求x到其它n-1个结点的最短距离

    {

int m=big; //虚拟一个最大的数big=99999999;

int k=x;

      for(int j=1;j<=n;j++)   //在未求出的结点中找一个源点到其距离最小的点

        if(vis[j]==0&&m>dis[j])

{

m=dis[j];

k=j;

}

      vis[k]=1;   //思考：如果k=X说明什么？说明后面的点，无解。

      for(int j=1;j<=n;j++)   //用当前找的结点更新未求结点到X的最短路径

      if((vis[j]==0)&&(dis[k]+g[k][j]<dis[j]))

        {  

         dis[j]=dis[k]+g[k][j];  //更新

         pre[j]=k;  //保存前趋结点，以便后面求路径

        }

    }

}

说明：dis[i]表示x到i的最短距离，pre[i]表示i结点的前趋结点。

二十、Kruscal算法

void qsort(int x,int y)//对边集数组进行快速排序

{int h=x,r=y,m=elist[(h+r)>>1].w;

while(h<r)

  {while(elist[h].w<m) h++;

   while(elist[r].w>m) r--;

   if(h<=r)

    {edge tmp=elist[h];elist[h]=elist[r];elist[r]=tmp;h++;r--;}

  }

if(x<r) qsort(x,r);

if(h<y) qsort(h,y);

}

int getfather(int x)//找根结点，并压缩路径，此处用递归实现的。

{if(x==father[x]) return x;

else {

        int f=getfather(father[x]);

        father[x]=f;

        return f;

      }

}

void merge(int x,int y)//合并x,y结点，在此题中的x,y为两个根结点。

{father[x]=y;}

void kruscal(void)

{int sum=0,ans=0;

qsort(1,t);//对t条边按权值大小按从小到大的次序进行快速排序

   for(int i=1;i<=t;i++)

     {int x1=getfather(elist[i].from);//取第i条边的起点所在的树的根

int x2=getfather(elist[i].to);// 取第i条边的终点所在的树的根

if(x1!=x2)

{sum++;merge(x1,x2);ans+=elist[i].w;}//不在同一个集合，合并，即第i条边可以选取。

if(sum>n-1)

break;//已经确定了n-1条边了，最小生成树已经生成了，可以提前退出循环了

}

   if(sum<n-1)

cout<<"Impossible"<<endl; //从t条边中无法确定n-1条边，说明无法生成最小生成树

   else 

cout<<ans<<endl;

  }

克鲁斯卡尔算法，只用了边集数组，没有用到图的邻接矩阵，因此当图的结点数比较多的时候，输入数据又是边的信息时，就要考虑用Kruscal算法。对于岛国问题，我们就要选择此算法，如果用Prim算法，还要开一个二维的数组来表示图的邻接矩阵，对于10000个点的数据，显然在空间上是无法容忍的。

二十一、Floyed算法

void floyed(void)// a[i][j]表示结点i到结点j的最短路径长度，初始时值为<I,J>的权值。

{for(int k=1;k<=n;k++) //枚举中间加入的结点不超过K时f[i][j]最短路径长度，K相当DP中的阶段

        for(int i=1;i<=n;i++) //i，j是结点i到结点J，相当于DP中的状态

for(int j=1;j<=n;j++)

      if (a[i][j]>a[i][k]+a[k][j]) a[i][j]=a[i][k]+a[k][j];//这是决策，加和不加中间点，取最小的值

}

弗洛伊德算法适合于求没有负权回路的图的最短路径长度，利用FLOYED算法，可写出判断结点i和结点J是否连通的算法。

二十二、01背包问题

n为物品的数量，w[i]表示第i个物品的重量，c[i]表示第i个物品的价值，v为背包的最大重量。

有状态转移方程f[i][j]=max{f[i-1][j],f[i-1][j-w[i]]+c[i]}。f[i][j]表示前i个物品，在背包载重为j时获得的最大价值。显然f[n][v]即为所求。边界条件为f[0][s]=0,s=0,1,…,v。

for(int i=1;i<=n;i++)//枚举阶段

for(int j=0;j<=v;j++)//枚举状态，当然此处也可写成:for(int j=v;j>=0;j--)

   {

f[i][j]=f[i-1][j];//不选第i个物品

if(f[i][j]<f[i-1][j-w[i]]+c[i]) f[i][j]=f[i-1][j-w[i]]+c[i];//选第i个物品

}

cout<<f[n][v]<<endl;//输出结果。

优化：用一维数组实现，把第i-1阶段和第i阶段数据存在一块。

for(int i=1;i<=n;i++)//枚举阶段

for(int j=v;j>=0;j--)//枚举状态，当然此处也可写成:for(int j=v;j>=0;j--)

   {

f[j]=f[j];//不选第i个物品，可省略此语句。

     if((j>w[i])&&(f[j]<f[j-w[i]]+c[i])) f[j]=f[j-w[i]]+c[i];//选第i个物品

}

cout<<f[v]<<endl;//输出结果。

对比优化前后，我们不难发现，优化后的代码实际上就是在原来基本的代码基础上，减少了阶段这一维，同时在枚举状态时，为了保证结果的正确性，枚举的顺序只能是v到0，而不能是0到v。大家细想一下为什么？就是保证在求第i阶段j状态时，f[j-w[i]]为第i-1阶段的值。

进一步优化，在上面代码中，枚举状态时，还可以写成for(int j=v;j>=w[i];j--)，此时下面的判断条件j>=w[i]就可以省略了。

二十三、完全背包问题

和01背包问题不同的是，完全背包，对于任何一个物品i，只要背包重量允许，可以多次选取，也就是在决策上，可以选0个，1个，2个，…，v/w[i]个。

状态转移方程f[i][j]=max{f[i-1][j],f[i-1][j-w[i]]+c[i]，f[i-1][j-2*w[i]]+2*c[i]，…，f[i-1][j-k*w[i]]+k*c[i]}。k=0，1，2，…，v/w[i]。f[i][j]表示前i个物品，在背包载重为j时获得的最大价值。显然f[n][v]即为所求。边界条件为f[0][s]=0,s=0,1,…,v。

for(int i=1;i<=n;i++)//枚举阶段

for(int j=0;j<=v;j++)//枚举状态，当然此处也可写成:for(int j=v;j>=0;j--)

    {f[i][j]=f[i-1][j];//k=0的情况作为f[i][j]的初始值，然后在k=1,2,…,v/w[i]中找最大值

    for(int k=1;k<=v/w[i];k++) 

if(f[i][j]<f[i-1][j-k*w[i]]+k*c[i]) f[i][j]=f[i-1][j-k*w[i]]+k*c[i];//选第i个物品

}

cout<<f[n][v]<<endl;//输出结果。

二十四、多属性背包问题

二十五、多背包问题

二十六、最长不降（上升）子序列问题

  f[i]表示从第1个数开始，以第i个数结尾的最长递增子序列。

状态转移方程：f[i]=max{f[j]}+1 （1≤j≤i-1，1≤i≤n，a[i]≥a[j]）

临界状态：f[1]=1;

二十七、最长公共子序列问题

   f[i][j]表示第一个串前i个字符和第二个串前j个字符的最长公共子序列数。

   状态转移方程：

       f[i-1][j-1]                 (若a[i]==b[j])

f[i][j]=

                          max{f[i-1][j],f[i][j-1]}+1     (若a[i]≠b[j])

   临界状态:f[0][j]=0，f[i][0]=0