交互递归和丘齐数

上次说到丘齐数 的时候并没有提到怎么定义后继函数， succ(n) = n + 1。这两天读Pierced的书（顺便说一句，这本Types and Programming Languages的叙述清晰，推理自然，符号也用得非常简约。相比那本Principles of Program Analysis，Peirce这本书读起来轻松多了。也不知道是作者风格问题，还是类型系统的线条本来就比较清爽）时，突然意识到succ的定义其实暗合（多半是明合，不过我没有清晰的证明）交互递归。先看上次定义的丘齐数：

n  ＝ lambda s z . sn z

如果把s看成后继函数，z看成0，n就很好理解了：对0做n次后继操作。

现在看后继函数的定义：succ = lambda n s z. s (n s z)

看到没有，如果我们同样把s看作后继函数，z看成0， 那succ(n)相当于对0做n次后继操作，然后再做一次。相当于说说succ(n) = n + 1。非常直观吧？再仔细观察，丘齐数的定义出现在后继函数的定义里，反之亦然。换句话说，俺们用到了交互递归。如果有老大不了解交互递归，不妨不用任何循环语句写一个打印有任意结构的树的程序。

那我们怎么知道这个交互递归收敛呢？那就要看0这个丘齐数的定义了：0 = lambda s z. z。同样，把s看成后继函数。s完全没有被应用到被看作0的z上。换句话说，当n等于0时，succ(n)＝succ(0) = s (0 s z) = s z = z = 0。刚好收敛。当然，这不是严格的证明。严格的证明就留给各位老大了。

最后来道练习题（其实就是Pierce书上的练习5.2.2)：用另外一种方式定义后继函数。