Reed_Solumon 编码

reed_solumon 编码是纠错编码技术之一，在通讯技术里和磁盘存储系统里常用。简单说就是在原有信息里加入冗余信息，让信息在传输中更加稳健。让我们把信息传输比喻成小鸭鸭过河，一个小鸭鸭过河很容易被水浪冲走，一群小鸭鸭手挽手过河，就会多一份机会完好无损地度过去，这就是稳健。具体在通讯传输中，如果我们要传输数据123，可能由于噪声影响传过去变成了120， 如果没有加入reed_solumon编码，信息就出错了。如果我们在传输123时，加入冗余信息，比如我们传三遍原有信息，这样传输的数据就变成123123123，由于噪声干扰，我们的到了120 123123，虽然传输的123 变成了120，但是看到后面的两个123，我们知道传输的实际上是123而不是120，于是120123123就被纠正成123123123，去除后面的冗余码123123，我们就得到了实际上纠正过的传输码123。所以纠错编码的基本概念就是在原有信息里加入冗余信息一起传输，在接收方用相应的算法把原有信息算出来，冗余信息去除。这中间当然需要有些算法，我们举的信息重复的例子（123变成123123123）只是为了让大家明白编码的原理，实际中的算法有许多种（比如Reed Solomon和 CRC等），要面对不同的情况，解决不同的问题，但是万变不离其宗，不管算法如何，概念都是加入冗余，再逆运算去除冗余的过程。明白了这个原理再看算法，就不会觉得那么难了。

需要说明的是纠错有两个概念，一个是发现错误，一个是纠正错误，如果收到信息后进行反变换，能够得到吻合的信息，说明信号没有被噪声污染，如果不能通过反变换恢复，我们就知道信号某些位在传输或储存时受噪声干扰出错了，如果错误少于一定数量的位数，可以用算法被纠正过来，大于一定位数的错误，就只能找到错误而不能完全修复错误了。另外加入的冗余位也是有可能受噪声影响而出错的，这个时候纠错就不能正确进行了，有些方法可以避免或者减少这种情况出现的概率，以后我们慢慢讨论。

编码也从做开始

记得写过一篇没有结尾的博文（脸红一下），叫做学习傅立叶变换从做开始。其实无论学习任何理论，最有效的方法都是从做开始了。

我们既然知道了编码的过程和目的，不如自己先试着做一个编码，从而更详细地知道编码的过程，也就知道我们从直观上得出的编码过程问题在哪里，为什么会有那些理论来支持编码过程了。

最直观的想法，我们要传输的都是整数，先把GF域等编码里常看到的数学理论放一放，想想如果我们要传输一堆整数，需要加入冗余信息让传输更加稳健，我们会怎么做。除了最开始说的重复方法（传输123123123来代替123），我还能想到以下这个方法。

Berlekamp-Massey decodingalgorithm

假定传输的三个数是2  8 10， 我把他们用多项式算一下再传输，比如这个多项式是

http://en.wikipedia.org/wiki/Reed%E2%80%93Solomon_error_correction#Berlekamp.E2.80.93Massey_decoder

http://en.wikipedia.org/wiki/Berlekamp%E2%80%93Massey_algorithm#Berlekamp.E2.80.93Massey_algorithm_for_fields

http://en.wikipedia.org/wiki/Forney_algorithm

我们知道编码的过程就是

编码也从做开始

关于域的概念

因为我们传输和储存的是数据块，而且我们希望所传输的数据无论怎么编码解码，都在可控制的一个封闭区域内，以保证编码解码的正确性，这忍不住让我们想到数学里的域（field），它就具备这样的特性。

数学里的域是一个代数结构，也就是一个数据集合（有限集），或者表，域里的数字满足一定的运算规律，比如加法和乘法是闭运算，也满足加法乘法交换律和结合律，每个非零元素都有乘法逆元（任一非零元素都存在1/a，使得a * (1/a) = 1）等。例如有理数复数实数都是fields，也有其他的例子，比如质数p，以它为模的所有整数（integer mod p,也就是所有运算遵循p-1进制规律）组成一个集合，这个集合也是一个field。注意复数和有理数集都是域，但是整数集却不是，因为整数集里的元素没有逆元，比如2是整数集里的元素，但1/2却不是，所以2在整数集里没有逆元，整数集不是域，而是环，有兴趣的同学可以在网上查阅有关信息。


域的表示方法--多项式表示法

既然域是数字的集合，而且是有限集合；同时要满足一些闭运算的条件，也就是运算后的元素还是这个域的元素；最重要的，因为我们是要用电脑操作和计算这些数据，不能产生溢出， 而且最好能一目了然地知道多少位可以储存这些域里面的数字。这些要求都让我们觉得用指数形式表示这些数字比较合适，比如234用十进制表示为2x10^2 + 3 x 10^1 + 4x10^0,因为电脑储存的都是二进制数，我们用二进制会更加直观于是234被写成11101010,也就是 1x2^7 + 1x2^6 + 1x2^5 + 0x2^4 + 1x2^3 + 0x2^2 + 1x2^1 + 0x2^0。无论是2x10^2 + 3 x 10^1 + 4x10^0 还是1x2^7 + 1x2^6 + 1x2^5 + 0x2^4 + 1x2^3 + 0x2^2 + 1x2^1 + 0x2^0，他们都是域元素的多项式形式表示法，这样域里面元素之间的运算就可以通过这些多项式的运算来实现，

一些必须清楚的概念

REED SOLOMON编码是从消息（MESSAGE)到码字（codeword)转换的过程。

假如消息是（m1,m2,...,mm)

GF域（Galois fields）

说到REED SOLOMON编码，不得不先说到GF，

数学里field的定义：它是一个代数结构，也就是一个表，满足加法乘法交换律和结合律等运算规律。例如有理数复数实数都是fields，也有其他的例子，如质数p，以它为模的所有整数（integer mod p,也就是所有运算遵循p-1进制规律）组成一个集合，这个集合就是field，加法乘法之后结果仍在这个field，假如这个质数是3（integer mod 3)，那么这个field就是0 1 2，也就是0，20，21
所以一个mod xk+1的field,我们可以用一个多项式来表示field里所有元素的值。mo+ m1x+, . . . ,+ mK-2xk-2+mK-1xk-1