递归算法(求n的加法组合,将一个整数拆分成多个整数相加的形式, O(N)时间,O(N)空间)3.0版
来源:互联网 发布:简写英文软件 编辑:程序博客网 时间:2024/05/17 04:42
网上的多种解法比较复杂,本文用递归方法,22行代码搞定。时间和空间复杂度已经降到最低!
第三版:加入创作思路。
这个函数的主要功能就是输出所有组合。既然是输出所有的组合,那就意味着内部有一个遍历所有组合的过程。既然是遍历,而且是O(N)时间,那就说明这个遍历是按照某种输出次序,从“第一个组合”遍历到“最后一个组合”。
如何给组合定义次序呢?举例说明
例1:
3=1+1+1
3=1+2
3=3
上面的例子就说明了次序,即,按照组合中出现数字的从小到大顺序。
定义了次序,剩下的就是如何让程序按照这个程序一个一个的遍历。遍历的过程不会那么完美的一个不重复,当然也会重复,这就涉及到过滤。过滤那些重复的元素,举例说明
例2:
3=1+1+1
3=1+2
3=2+1
3=3
可以看出这个例2中的3=2+1被过滤掉了,并没有输出,这也是必须的,为什么呢?因为3=2+1和之前出现的3=1+2本质上就是一种组合,还要交换一下数字的位置就可以了。而加法自然有交换率。所以就不必输出了。从这里还可以看出来过滤的依据,那就是让一个组合中的所有数字也保持从小到大出现,这样就不会出现3=2+1了,因为2比1大,之前肯定出现过了。这样一来就解决了输出的唯一性
至此,就剩下如递归的进行了。递归的思路是这样的,例如拆分3:
既然
3=1+后续组合
那么递归也就自然的变成了对“后续组合”进行继续拆分,只要“后续组合“的所有排列找到了,后续组合的每个排列前面加上1这个前缀自然就解决了1作为前缀的所有情况,这样一来就会遍历到
3=1+1+1
3=1+2
由于组合次序的定义可以知道,1作为前缀的情况被遍历完之后,自然就变成了遍历2开头的数字
2开头的数字还需要遍历吗?基于如下事实
n=m1+m2+...+mk, m1<m2<...<mk
第一个数字m1不会超过n/2,因为m1后面的数字要比m1大。所以可以看出,遍历的时候第一个数字最多尝试到n/2.
但是m1最大取n/2是合理的,比如
11=5+6
也就是说拆分的时候总是有拆分成两个数的和的形式,其中n=m1+m2,m1<m2,这样一来m1取n/2就是合适的。
那么下面就是递归程序的实现了。
f(int n,list l,int start)
参数说明:
n:这里n表示要对n进行拆分
l:这里表示子拆分的时候前缀的那些子递增序列,当n被初次拆分的时候,list当然是空的,只有子拆分才会有非空的前缀
start:表示在遍历的时候当前组合的第一个数字,这个数字用来去除重复,参考输出的唯一性
第二版:添加了输出函数和头文件(可直接运行)
附上说明:
//n give the sum of a list,and start give the first number of the list#include <iostream>#include <list>using namespace std;void print_list(list<int>::const_iterator iter_begin,list<int>::const_iterator iter_end){for (iter_begin;iter_begin!=iter_end;++iter_begin){cout<<*iter_begin<<'+';//输出前缀,最后一个后缀单独输出}}/*这个函数会打印N的所有加法组合打印时将重复的组合去掉,只剩下N = m1+m2+m3的形式其中m1<=m2<=m3N:待打印的数list1:临时变量,用于存放动态的子序列start:m1开始打印(默认从m1=1开始打印,m1会自动增大到N完成全部打印),如果m1=N,则只打印N本身*/void f(int n,list<int>& list1,int start) {if (n==1)//当函数递归到n=1的时候,说明n已经被拆分成N=m1+m2+...+mk+n的时候了,{//输出前缀,当然前缀肯定也全部都是1print_list(list1.begin(),list1.end());//换行cout<<1<<endl;return;} else{//1+2 和 2+1 认为是同一种情况 ,所以只输出n1+n2+n3+..., n1<=n2<=n3... // 只输出后续组合从start开始的那些组合(1+2)( + 3+3=6)=9//(1)for (int i=start;i<=n/2;i++) {//( + 3+3=6)list1.push_back(i); //print 1+f(n-1) print 2+f(n-2)...//每个函数打印它自己的所有子情况,//同时借助上层函数遗留的链表作为前缀,//有start决定从哪一个数字开始打印f(n-i,list1,i); //the loop goto a new number at the end of the list//(1+2) =9 为进入下一个循环迭代做好准备list1.pop_back(); }//for循环之外的情况,即n自身的输出(当然也要先输出前缀)print_list(list1.begin(),list1.end());//输出自己,单独输出一行cout<<n<<endl;}}void get(int N){list<int> list1 ;f(N,list1,1);}int main( void ) {get(9);return 0;}
第一版: 没有输出函数,下面的代码不可运行,直接使用第二版的代码即可。
//n give the sum of a list,and start give the first number of the listvoid f(int n,list<int>& list1,int start) {if (n==1){//输出前缀,当然前缀肯定也全部都是1print_list(list1.begin(),list1.end());//换行cout<<1<<endl;} else{//1+2 和 2+1 认为是同一种情况 ,所以只输出n1+n2+n3+..., n1<=n2<=n3... // 只输出后续组合从start开始的那些组合(1+2)( + 3+3=6)=9for (int i=start;i<=n/2;i++) {//( + 3+3=6)list1.push_back(i); //print 1+f(n-1) print 2+f(n-2)...//每个函数打印它自己的所有子情况,//同时借助上层函数遗留的链表作为前缀,//有start决定从哪一个数字开始打印f(n-i,list1,i); //the loop goto a new number at the end of the list//(1+2) =9 为进入下一个循环迭代做好准备list1.pop_back(); }//for循环之外的情况,即n自身的输出(当然也要先输出前缀)print_list(list1.begin(),list1.end());//输出自己,单独输出一行cout<<n<<endl;}}int main( void ) {list<int> list1 ;f(9,list1,1);return 0;}
输出:f(9,null,1)
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