判斷區域B是否在區域A內部的快速算法

http://www.cnblogs.com/xiaotie/archive/2010/11/08/1871424.html

在圖像分析中，經常需要判斷圖像分割所得到的區域之間的關系。通常情況，我們通過八鄰接外輪廓（准確說法是擴展邊緣，但這樣又得費半天口舌解釋什麼是擴展邊緣）來描述一個區域並對區域進行標注，如：

 

很容易判斷兩個區域是否相鄰（掃描區域的內外邊緣像素，如果相鄰的像素具有不同的標注值，則為鄰居），卻較難判斷一個區域是否在另一個區域的內部。

如上圖中，通過相鄰像素的標注值的不同，可以得出A和B互為鄰居，A和C互為鄰居，卻很難知道B和C中，哪個是在A的內部。下面設計算法進行判斷。

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如果B在A的內部，則B的外輪廓上的每個點在A的外輪廓的內部或邊緣上；如此一來，問題就簡化為判斷點是否在多邊形的邊緣或內部。

判斷點是否在多邊形內部有一個很經典的算法：從該點向任意一方畫射線，數該射線與多邊形的邊的交點數量，如果為奇數則在多邊形內部，如果為偶數則在多邊形的外部。

這個算法有兩個特例：

（1）射線和多邊形的邊重合（下圖a，b）

（2）射線經過多邊形的頂點（下圖c，d）

顯然，（a）應該算0個交點 ，（b）應該算1個交點，（c）應該算0個交點，（d）應該算1個交點。

總體上來說，這個算法要考慮到幾種特殊情況，還是比較繁瑣的。下面，針對本文的應用來簡化該算法。

數字圖像是離散的，通過邊界跟蹤可以得到全部的輪廓點。

上圖是一個輪廓及待判斷點。從該點向X軸畫一個射線，與9個輪廓點相交。如果將輪廓的任意兩個相鄰點的連線作為多邊形的一邊的話，很不幸，全部交點都是特殊情況。這裡假定輪廓點的排列是有序的，也就是說，是有方向的，只考察輪廓點和它一前一後兩個輪廓點之間的關系，則有下面幾類情況：

這裡對經典的點在多邊形內部判斷算法進行變形：

（1）如果經過A類中的中間點，則算為 0.5 或 –0.5 個交點；

（2）如果經過B類的中間點，算作1個或-1個交點；

（3）如果經過C類的中間點，算作0個交點。

計算結果——如果交點數加起來是奇數，則點在輪廓的內部，否則在外部。為了避免浮點計算，將交點個數乘於2，即A類的算1個或-1個交點，B類的算2個或-2個交點，C類的算0個交點。交點總數是4的倍數則在輪廓外部，否則，則在內部。

為什麼是1個或-1個，2個或-2個呢？這裡有方向問題。假設箭頭是從下向上的，為-1，箭頭是從上往下的，算1，如果箭頭是水平的，算0.  這樣計算的話，則上圖中A類的2種情況分別為1個、1個交點，B類的2種情況分別為2個、-2個交點，C類的2種情況全為0. 如此以來，完全滿足前面點在多變形內部的經典算法對幾種特殊情況的處理。

為每一個輪廓點賦予一個分值Score，這個分值只與它（Current）和前後兩點（Prev，Next）有關，和其它任何點無關。因此，這個分值是靜態的，不變化的。我們可以把它計算出來緩存在散列表中。

private void ComputeExtendContourPointXScoreDic() 
{ 
    List<Point> points = this.ExtendContourPoints; 
    if (points.Count < 3) return; 
    int count = points.Count; 
    for (int i = 0; i < count; i++) 
    { 
        Point current = points[i]; 
        Point prev = points[(i + count - 1) % count]; 
        Point next = points[(i + 1) % count]; 
        int score = current.Y < prev.Y ? 1 : current.Y > prev.Y ? -1 : 0; 
        score += next.Y < current.Y ? 1 : next.Y > current.Y ? -1 : 0; 
        _extendContourPointXScoreDic[current.GetHashCode32()] = score; 
    } 
}

更進一步，score = prev.Y – next.Y:

private void ComputeExtendContourPointXScoreDic() 
{ 
    List<Point> points = this.ExtendContourPoints; 
    if (points.Count < 3) return; 
    int count = points.Count; 
    for (int i = 0; i < count; i++) 
    { 
        _extendContourPointXScoreDic[points[i].GetHashCode32()] = points[(i + count - 1) % count].Y - points[(i + 1) % count].Y; 
    } 
}

_extendContourPointXScoreDic 是一個散列表，儲存了輪廓點的Score。因為一般的圖像不會特別大，我為Point添加了一個擴展方法GetHashCode32()來獲得散列值：

public static int GetHashCode32(this Point p) 
{ 
    return p.Y * Int16.MaxValue + p.X; 
}

這個散列表還有一個用途——如果某點的散列值在散列表內，則該點在外輪廓上。

判斷點是否在輪廓的內部，只需要向左或向右掃描即可。比較向左和向右的掃描長度，選擇最短的掃描路線，將掃描所經過的輪廓點的散列值加起來，就是交點數量。該交點數量如果是4的倍數，則代表點在輪廓外，否則，則在輪廓內。

在掃描的過程中，向左移一點或向右移一點，對應的點的散列值減1或加1，因此，可以省掉移動的過程，用散列值的變化來表示移動。這樣又可以加速計算。如果已知A、B兩個區域的 Rectangle，可以先判斷，如果B的Rectangle不在A的Rectangle內部，則B一定不在A的內部。這樣也可以節省不少計算。

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參考資料：Udi Manber. 算法引論——一種創造性方法.  http://www.china-pub.com/26775 P.189。