0-1背包问题 动态规划

分析如下：
题目
有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的重量是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
基本思路
这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。
用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：
f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}
这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为f[i-1][v]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。
  阶段 I （物品的数量）
  每个阶段的状态： 前i个物品 总容量不超过 v的 最大价值  f[i][v]
  状态转移方程   
当v大于c[i]  f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}
当v小于c[i]  f[i][v] = f[i-1][v]
 边界控制   I =0  或 v=0 时 f[i][v] =0
for i:=1 to v do f[0,i]:=0;
for i:=1 to n do f[i,0]:=0;
for i:=1 to n do
for j:=1 to v do
begin
if j>=c[i] then f[i,j]:=max(f[i-1,j-c[i]]+w[i],f[i-1,j])
else f[i,j]:=f[i-1,j];
end;

详解：

测试数据：
3 10

4 3 

5 4

6 5

c[i][j]数组保存了1,2,3号物品依次选择后的最大价值.
这个最大价值是怎么得来的呢?从背包容量为0开始,1号物品先试,0,1,2,的容量都不能放.所以置0,背包容量为3则里面放4.这样,这一排背包容量为4,5,6,....10的时候，最佳方案都是放4.假如1号物品放入背包.则再看2号物品.当背包容量为3的时候，最佳方案还是上一排的最价方案c为4.而背包容量为5的时候，则最佳方案为自己的重量5.背包容量为7的时候，很显然是5加上一个值了。加谁??很显然是7-4=3的时候.上一排 c3的最佳方案是4.所以。总的最佳方案是5+4为9.这样.一排一排推下去。最右下放的数据就是最大的价值了。(注意第3排的背包容量为7的时候,最佳方案不是本身的6.而是上一排的9.说明这时候3号物品没有被选.选的是1,2号物品.所以得9.)

参考代码如下：
//0-1背包问题

#include <iostream>using namespace std;int max(int a,int b){ int temp=b; if (a>b)temp=a; return temp;}int main(){ int N,V; int sum[101][100]={0}; int i,j; int c[100]={0},w[100]={0}; while (cin>>N>>V) {  for(i=1;i<=N;i++)cin>>c[i]>>w[i];    for(i=0;i<=N;i++)   for(j=0;j<=V;j++)    sum[i][j]=0;   cout<<"分配方法："<<endl;   for(i=1;i<=N;i++)    for(j=1;j<=V;j++)    {     if (j>=w[i])sum[i][j]=max(sum[i-1][j],sum[i-1][j-w[i]]+c[i]);     else sum[i][j]=sum[i-1][j];          cout<<sum[i][j]<<" ";     if(j%V==0)cout<<endl;    }    cout<<"最大价值："<<sum[N][V]<<endl; } return 0;}