poj 1639 Picnic Planning

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思路：最小k度限制生成树

解题步骤：
1. 先求出最小 m 度限制生成树：
    原图中去掉和 V0 相连的所有边，得到 m 个连通分量，则这 m  个连通分量必须通过 v0 来连接，所以，在图 G  的所有生成树中 dT(v0)≥m 。也就是说，当 k<m 时，问题无解。对每个连通分量求一次最小生成树，对于每个连通分量 V’ ，用一条与 V0 直接连接的最小的边把它与 V0 点连接起来，使其整体成为一个生成树。于是，我们就得到了一个 m 度限制生成树，不难证明，这就是最小 m 度限制生成树。

2. 由最小 m 度限制生成树得到最小 m+1 度限制生成树：
    连接和 V0 相邻的点 v ，则可以知道一定会有一个环出现（因为原来是一个生成树），只要找到这个环上的最大权边（不能与 v0 点直接相连）并删除，就可以得到一个 m+1 度限制生成树，枚举所有和 V0 相邻点 v ，找到替换后，增加权值最小的一次替换 (当然，找不到这样的边时，就说明已经求出) ，就可以求得 m+1 度限制生成树。如果每添加一条边，都需要对环上的边一一枚举，时间复杂度将比较高（但这个题数据比较小，所以这样也没问题，事实上，直接枚举都能过这个题），这里，用动态规划解决。设   Best(v) 为路径 v0—v 上与 v0 无关联且权值最大的边。定义 father(v) 为 v 的父结点，由此可以得到动态转移方程： Best(v)=max(Best(father(v)),ω(father(v),v)) ，边界条件为 Best[v0]=-∞ (因为我们每次寻找的是最大边，所以 -∞ 不会被考虑) ，Best[v’]=-∞| (v0,v’)∈E(T) 。这个可以用dfs做到

3. 当 dT(v0)=k 时停止(即当 V0 的度为 k 的时候停止)，但不一定 k 的时候最优。

代码：

#include<iostream>#include<algorithm>#include<cstdio>#include<cstring>#include<string>#include<map>using namespace std;#define MAXN 30#define INF 0x7FFFFFFFint n , k , ans , cnt;/*边的长度n和k度 , cnt表示有几个点*/int vis[MAXN];/*标记点i是否加入了生成树*/int mark[MAXN];/*在prime算法里面会用到*/int pre[MAXN];/*点i的前驱节点*/int father[MAXN];/*生成树中父节点的编号*/int best[MAXN];/*记录点i到限制点并且和限制点没有关联的最大边的点的编号*/int edge[MAXN][MAXN];/*用来表示边是否已在生成树中*/int G[MAXN][MAXN];/*保存两点之间的权值*/int lowcost[MAXN];map<string , int>m;/*初始化G*/void init(){   for(int i = 0 ; i < MAXN ; i++){      for(int j = 0 ; j < MAXN ; j++)         G[i][j] = INF;   }}/*dfs把一个连通分支里面的点全部指向s*/void dfs(int s){   for(int i = 1 ; i <= cnt ; i++){      if(mark[i] && edge[i][s]){        father[i] = s;        mark[i] = 0;        dfs(i);      }   }}/*prime算法*/int prime(int s){   int sum , pos;   memset(mark , 0 ,sizeof(mark));   vis[s] = mark[s] = 1;   sum = 0;   for(int i = 1 ; i <= cnt ; i++){      lowcost[i] = G[s][i];      pre[i] = s;   }   for(int i = 1 ; i <= cnt ; i++){      pos = -1;      for(int j = 1 ; j <= cnt ; j++){         if(!vis[j] && !mark[j]){           if(pos == -1 || lowcost[j] < lowcost[pos])             pos = j;         }      }      if(pos == -1)        break;      vis[pos] = mark[pos] = 1;      edge[pre[pos]][pos] = edge[pos][pre[pos]] = 1;      sum += G[pre[pos]][pos];      for(int j = 1 ; j <= cnt ; j++){         if(!vis[j] && !mark[j]){           if(lowcost[j] > G[pos][j]){             lowcost[j] = G[pos][j];             pre[j] = pos;           }         }      }   }   /*一下是找到一条最小权值的边把该连通分量连接到限制点1*/   int min = INF;   int root = -1;/*要和1点连接的点*/   for(int i = 1 ; i <= cnt ; i++){      if(mark[i] && G[i][1] < min){        min = G[i][1];        root = i;      }   }   /*把当前的连通*/   mark[root] = 0;   dfs(root);   father[root] = 1;   return sum+min;}/*求best数组函数,求解s-1路径上权值最大的边的终点*/int Best(int s){    if(father[s] == 1)      return -1;    if(best[s] != -1)      return best[s];    int tmp = Best(father[s]);    if(tmp != -1 && G[father[tmp]][tmp] > G[father[s]][s])      best[s] = tmp;    else      best[s] = s;    return best[s];}void solve(){    memset(father , -1 , sizeof(father));    memset(vis , 0 , sizeof(vis));    memset(edge , 0 , sizeof(edge));    vis[1] = 1;/*把1这个点当成限制点*/    int num = 0;/*把1限制点去掉以后的连通分支的个数*/    ans = 0;    /*先求最小num度限制树*/    for(int i = 1 ; i <= cnt ; i++){       if(!vis[i]){         num++;         ans += prime(i);       }    }    /*再由m度限制生成树->k度生成树*/    int minAdd;/*增加一条边改变的权值大小*/    int change;/*记录回路上要删除的边的终点*/    /*循环k-num次*/    for(int i = num+1 ; i <= k && i <= cnt ; i++){       memset(best , -1 , sizeof(best));/*初始化为-1*/       /*求出best数组*/       for(int j =1 ; j <= cnt ; j++){          if(best[j] == -1 && father[j] != 1)            Best(j);       }       minAdd = INF;/*初始化为INF*/       for(int j = 1 ; j <= cnt ; j++){          if(G[1][j] != INF && father[j] != 1){            int a = best[j];            int b = father[best[j]];            int tmp = G[1][j]-G[a][b];            if(tmp < minAdd){              minAdd = tmp;              change = j;            }          }       }       if(minAdd >= 0)/*要加上这一句*/         break;       ans += minAdd;       int a = best[change];        int b = father[change];       G[a][b] = G[b][a] = INF;/*把这一条边去掉就是赋值为INF*/       father[a] = 1;/*把a的父亲节点指向为限制点1*/       G[a][1] = G[1][a] = G[change][1];/*新增加的一条边的权值*/       G[1][change] = G[change][1] = INF;    }}int main(){   int v;   string str1 , str2;   m.clear();   m["Park"] = 1;   cnt = 1;/*初始化有一个点*/   init();/*初始化*/   scanf("%d" , &n);   for(int i = 0 ; i < n ; i++){      cin>>str1>>str2>>v;      int a = m[str1];      int b = m[str2];      if(!a)        m[str1] = a = ++cnt;      if(!b)        m[str2] = b = ++cnt;      if(G[a][b] > v)/*a b 为点的编号，所以上面不能直接把m[str1] = 1*/        G[a][b] = G[b][a] = v;   }   scanf("%d" , &k);   solve();   printf("Total miles driven: %d\n" , ans);   return 0;}